1 Kreisfächer

Kreisfächer

Wir arbeiten in einem Fächer aus kongruenten Kreisen mit konstanten Fächerwinkel .

2 Schnittpunkte

2.1 Vier Kreise

Bei einem Fächer von vier Kreisen sehen wir, dass einige Schnittpunkte von Fächerkreisen kollinear sind.

Kollineare Punkte

2.2 Mehrere Kreise

Wenn wir den Fächer vergrößern, erhalten wir zusätzliche Quadrupel kollinearer Punkte.

Fächer mit mehreren Kreisen

3 Beweis

Wir beweisen den Fall mit einem Fächer mit vier Kreisen. Für größere Fächer läuft der Beweis analog.

Allerdings führen wir für den Beweis noch einen fünften Kreis an. Bezeichnungen gemäß Figur.

Beweisfigur

Es sei der Schnittpunkt der beiden Strecken und . Zu zeigen ist, dass auch der Schnittpunkt der beiden Kreise und ist.

Wegen der Fächerung ist die Strecke die um den Fächerwinkel gedrehte Strecke . Wir haben also bei den Schnittwinkel der beiden Strecken.

Nun ist aber, ebenfalls auf Grund der Fächerkonstruktion, der Kreis der Ortsbogen (Fasskreis) über der Strecke für den Peripheriewinkel . Daher liegt auf dem Kreis . Analog ist der Kreis der Ortsbogen (Fasskreis) über der Strecke für denselben Peripheriewinkel . Daher liegt auch auf dem Kreis . Somit ist der Schnittpunkt der beiden Kreise.

Analog kann gezeigt werden, dass die Strecke auch durch den Schnittpunkt der beiden Kreise und verläuft.

4 Regelmäßige Vielecke. Bildergalerie

Wenn wir in einem regelmäßigen n-Eck mit dem Mittelpunkt M die Umkreise der Sektordreiecke zeichnen, ergibt sich ein Fächer mit n Kreisen und dem Fächerwinkel . Die Diagonalen verlaufen immer durch (mindestens) 4 Schnittpunkte dieser Fächerkreise (bei geradem n muss der Mittelpunkt doppelt gezählt werden).