Hans Walser, [20160117]

Kreisfigur im Quadrat

Anregung: Renato Pandi

1     Worum geht es?

Eine Kreisfigur im Quadrat wird durch Tangenten zu einem Stern erweitert. Die relevanten Punkte lassen verschiedene Dreiecke zu. Es werden insbesondere die gleichschenkligen Dreiecke besprochen.

2     Die Sternfigur

ZunŠchst zeichnen wir im Quadrat Viertelkreise gemŠ§ Abbildung 1.

Abb. 1: Viertelkreise im Quadrat

Nun zeichnen wir die Tangenten an die Viertelkreise in deren Schnittpunkten und erhalten so einen achtzackigen Stern mit den Symmetrien des Quadrates (Abb. 2).

Abb. 2: Stern mit acht Spitzen

3     Gleichschenklige Dreiecke

Nun wŠhlen wir aus den insgesamt 16 Punkten (Eckpunkte des Quadrates, Eckpunkte des Bogen-Viereckes, Sternspitzen) jeweils drei Punkte aus, die ein gleichschenkliges Dreieck bilden. Der Autor hofft, dass er alle Beispiele gefunden hat. Sie werden im Folgenden gemŠ§ den Winkeln an der Spitze aufgelistet. Wegen der vierteiligen Symmetrie werden jeweils immer vier Beispiele miteinander vorgestellt. Falls sich die Dreiecke źberlappen, sind nicht alle vier gezeichnet, sondern nur zwei oder nur eines.

Fast alle vorkommenden Spitzenwinkel sind Vielfache von 30ˇ. Es gibt aber zwei Ausnahmen.

3.1    Spitzenwinkel 30ˇ

Bei einem Spitzenwinkel von 30ˇ messen die beiden Basiswinkel je 75ˇ. Die Abbildung 3 zeigt die vom Autor gefundenen Beispiele.

 

 

 

 

 

 

Abb. 3: Spitzenwinkel 30ˇ

3.2    Spitzenwinkel 60ˇ

Gleichseitige Dreiecke (Abb. 4).

 

 

 

 

 

Abb. 4: Gleichseitige Dreiecke

3.3    Spitzenwinkel 90ˇ

Das sind halbe Quadrate (Abb. 5).

 

 

 

 

 

Abb. 5: Spitzenwinkel 90ˇ

3.4    Spitzenwinkel 120ˇ

 

 

 

 

 

Abb. 6: Spitzenwinkel 120ˇ

3.5    Spitzenwinkel 150ˇ

 

 

Abb. 7: Spitzenwinkel 120ˇ

3.6    Die Ausnahmen

Fźr den Spitzenwinkel  des Beispiels der Abbildung 8 finden wir:

                                            

 

Abb. 8: Spitzenwinkel etwa 19.79218ˇ

Fźr den Spitzenwinkel  des Beispiels der Abbildung 9 finden wir:

                                            

 

Abb. 9: Spitzenwinkel etwa 47.58795ˇ

4     Nagelbrett

Die folgenden Fotos zeigen ein Nagelbrett (Geobrett) mit NŠgeln in den Positionen der Punkte der Abbildung 2. Mit GummibŠndern werden Dreiecke aufgespannt.

4.1    Spitzenwinkel 30ˇ

Abb. 10: Spitzenwinkel 30ˇ

4.2    Spitzenwinkel 60ˇ

Abb. 11: Gleichseitige Dreiecke

4.3    Spitzenwinkel 120ˇ

Abb. 12: Spitzenwinkel 120ˇ