Hans Walser, [20100923a]
Kreisfunktionen als Folgen
Frage: Welche beiden
Folgen 
und 
ergeben sich aus
den Startwerten 
und 
sowie der
gekoppelten Rekursionsformel:
Bearbeitung
In der Abbildung sind
die Punkte 
in blau und die
Punkte 
in rot eingetragen.
Visualisierung der
beiden Folgen
Wir vermuten, dass die
Kosinus- und die Sinusfunktionen hinter den beiden Folgen stecken.
Das kann wie folgt
eingesehen werden. Wir definieren:
Es ist also 
. Wegen 
ist dann 
.
Mit dieser Bezeichnung
gilt:
Beweis induktiv:
ZunŠchst ist 
und 
.
Es sei nun: 
Aus der Rekursion
folgt:
Mit den Additionstheoremen
ergibt sich:
Verallgemeinerung: Mit 
und 
, den Startwerten 
und 
sowie der
gekoppelten Rekursionsformel:
ergibt sich fźr 
analog: 
Wir kšnnen die beiden
Folgen entflechten. Aus der Rekursionsformel folgt zunŠchst:
Die erste Zeile
liefert: 
. Damit erhalten wir:
Das ist eine
Rekursionsformel vom verallgemeinerten Fibonacci-Typ. Wir benštigen zwei
Startwerte. Mit den beiden Startwerten 
und 
erhalten wir
dieselbe Folge wie oben. In der Abbildung sind zusŠtzlich die Punkte nach
dieser neuen Berechnungsart hellblau eingezeichnet.
Kontrollzeichnung