Hans Walser, [20201016]
Kreisringe
Idee und Anregung: Thomas Jahre, Aufgabe 55-652
Eine Schar von Kreisringen mit invariantem FlŠcheninhalt. Animation
Wir zeichnen einen regelmŠ§igen Polygonzug aus drei Strecken (Abb. 1a). ãRegelmŠ§igÒ hei§t hier: die Strecken des Polygonzuges sind alle gleich lang und die RichtungsŠnderungen t alle gleich gro§.
Abb. 1: Polygonzug und Kreisring
Nun zeichnen wir den Au§enkreis (ãUmkreisÒ) des Polygonzuges und den Innenkreis, der die Mittelpunkte der drei Strecken berŸhrt. Die beiden Kreise haben aus SymmetriegrŸnden dasselbe Zentrum; es entsteht ein Kreisring (Abb. 1b).
Einen Sonderfall erhalten wir, wenn wir bei einem regelmŠ§igen n-Eck Um- und Inkreis zeichnen. In diesem Sonderfall ist .
Wie gro§ ist der FlŠcheninhalt des Kreisringes?
Mit der StreckenlŠnge a erhalten wir den Au§enkreisradius R:
FŸr den Innenkreisradius r ergibt sich:
Somit hat der Kreisring den FlŠcheninhalt A:
Der FlŠcheninhalt A ist unabhŠngig von der RichtungsŠnderung t. Er ist eine Invariante. Mathematik besteht im Finden von Invarianten.
Der FlŠcheninhalt ist gleich dem FlŠcheninhalt des Kreises mit a als Durchmesser.
Die Animation 1 illustriert die Situation.
Animation 1
Weblinks
Chemnitzer Schulmodell
https://www.schulmodell.eu/aufgabe-der-woche.html
Chemnitzer Schulmodell
https://www.schulmodell.eu/unterricht/faecher/mathematik/wochenaufgabe/serie-55.html?start=3