Hans Walser, [20201016]

Kreisringe

Idee und Anregung: Thomas Jahre, Aufgabe 55-652

1   Worum geht es?

Eine Schar von Kreisringen mit invariantem FlŠcheninhalt. Animation

2   Polygonzug und Kreisring

Wir zeichnen einen regelmŠ§igen Polygonzug aus drei Strecken (Abb. 1a). ãRegelmŠ§igÒ hei§t hier: die Strecken des Polygonzuges sind alle gleich lang und die RichtungsŠnderungen t alle gleich gro§.

Abb. 1: Polygonzug und Kreisring

Nun zeichnen wir den Au§enkreis (ãUmkreisÒ) des Polygonzuges und den Innenkreis, der die Mittelpunkte der drei Strecken berŸhrt. Die beiden Kreise haben aus SymmetriegrŸnden dasselbe Zentrum; es entsteht ein Kreisring (Abb. 1b).

Einen Sonderfall erhalten wir, wenn wir bei einem regelmŠ§igen n-Eck Um- und Inkreis zeichnen. In diesem Sonderfall ist .

3   FlŠcheninhalt eine Invariante

Wie gro§ ist der FlŠcheninhalt des Kreisringes?

Mit der StreckenlŠnge a erhalten wir den Au§enkreisradius R:

 

                                                           

 

 

FŸr den Innenkreisradius r ergibt sich:

 

                                                           

 

 

Somit hat der Kreisring den FlŠcheninhalt A:

 

      

 

 

 

Der FlŠcheninhalt A ist unabhŠngig von der RichtungsŠnderung t. Er ist eine Invariante. Mathematik besteht im Finden von Invarianten.

Der FlŠcheninhalt ist gleich dem FlŠcheninhalt des Kreises mit a als Durchmesser.

4   Animation

Die Animation 1 illustriert die Situation.

 

Animation1.gif

Animation 1

Weblinks

 

Chemnitzer Schulmodell

https://www.schulmodell.eu/aufgabe-der-woche.html

 

Chemnitzer Schulmodell

https://www.schulmodell.eu/unterricht/faecher/mathematik/wochenaufgabe/serie-55.html?start=3