Hans Walser, [20170423]

Kreisschar

1     Worum geht es?

Es wird eine Schar von konzentrischen Kreisen gezeigt, welche sowohl in regelmŠ§igen Vielecken wie auch in der Ÿblichen Kugelparametrisierung erscheint.

2     Vielecke

2.1    Diagonalen

Die Abbildung 1 zeigt ein regelmŠ§iges 36-Eck mit sŠmtlichen Diagonalen.

Abb. 1: 36-Eck mit Diagonalen

Wir ãsehenÒ Kreise. Wie viele Kreise sind es? Welches sind ihre Radien?

†ber Diagonalenschnittpunkt in regelmŠ§igen Vielecken siehe [2] .

2.2    Diagonalen und Kreise

Abb. 2: Rote Kreise

In der Abbildung 2 sind die Kreise tatsŠchlich rot eingezeichnet.

2.3    Nur Kreise

Abb. 3: Kreise

Die Abbildung 3 enthŠlt nur die roten Kreise.

Sehen wir da eine rŠumliche Figur?

3     Kugel

3.1    Parameterdarstellung

Abb. 4: Kugel

Die Kugel der Abbildung 4 ist mit der Maschenweite 5¡ parametrisiert. Geodaten aus Kartenprojektionen [1].

3.2    Blick auf den Nordpol

Abb. 5: Blick auf den Nordpol

Die Abbildung 5 zeigt dasselbe mit Blick auf den Nordpol.

Wir erkennen dieselben Kreise wie in den Abbildungen 1 bis 3.

4     Hintergrund

4.1    RegelmŠ§ige Vielecke

4.1.1   Gerade Eckenzahl

Abb. 6: Berechnung der Radien

Wir arbeiten exemplarisch im regelmŠ§igen Zwšlfeck (Abb. 6a). Die Mittelpunktdiagonalen schneiden sich unter Winkeln von 30¡. Zwei benachbarte Diagonalen welche vom selben Eckpunkt ausgehen schlie§en einen Winkel von 15¡ ein (FŠcherwinkel). Den Umkreisradius setzen wir 1.

Der Radius r1 des innersten roten Kreises ist die Basishšhe des in der Abbildung 6b gelb eingezeichneten gleichschenkligen Dreiecks. Dieses hat die SchenkellŠnge 1 und die Basiswinkel 15¡. Somit erhalten wir:

 

                                                                                                     (1)

 

FŸr den Radius r2 des zweitinnersten Kreises arbeiten wir analog mit dem in der Abbildung 6c eingezeichneten Dreieck:

 

                                                                                       (2)

 

FŸr den Radius r3 ergibt sich (Abb. 6d):

 

                                                                                     (3)

 

Wir sehen die allgemeine GesetzmŠ§igkeit:

 

                                                                    (4)

 

Die Abbildung 7 zeigt das Spektrum der Radien unter der Sinuskurve.

Abb. 7: Spektrum

Die Formel (4) lŠsst sich fŸr ein Vieleck gerader Eckenzahl n verallgemeinern zu:

 

                                                                                         (5)

 

4.1.2   Ungerade Eckenzahl

Abb. 8: RegelmŠ§iges Neuneck

Wir arbeiten exemplarisch im regelmŠ§igen Neuneck (Abb. 8a). Wir haben keine Mittelpunktdiagonalen, sondern ein ãLochÒ in der Mitte. Die gelben gleichschenkligen Dreiecke haben der Reihe nach die Basiswinkel 10¡, 30¡, 50¡. Wir haben eine ãversetzteÒ arithmetische Folge mit dem Versatz 10¡.

FŸr die Radien der Kreise erhalten wir:

 

                                                                 (6)

 

Wir erkennen die Formel:

 

                                                                               (7)

 

Allgemein gilt fŸr ein Vieleck ungerader Eckenzahl n:

 

                                                                           (8)

 

Die Formeln (5) und (8) lassen sich zusammenfassen zu:

 

                                                           (9)

 

4.2    Kugelparametrisierung

Abb. 9: Kugelparametrisierung

Die Kugelparametrisierung der Abbildung 9 arbeitet mit einem 15¡-Raster. Ein Meridian wird also durch die Breitenkreise in 12 Teile unterteilt.

Den Kugelradius setzen wir 1.

Wir berechnen nun die Radien der Breitenkreise (Abb. 9b).

Der erste Breitenkreis nach dem Nordpol gehšrt zur geografischen Breite 75¡N. Seine Poldistanz ist daher 15¡. Die Poldistanz ist der Winkelabstand des Breitenkreises vom Nordpol. Poldistanz und geografische Breite ergŠnzen sich auf 90¡.

Abb. 10: Breitenkreisradien

GemŠ§ der Abbildung 10a erhalten wir fŸr den Radius r1 des ersten Breitenkreises nach dem Nordpol:

 

                                                                                                                  (10)

 

Analog erhalten wir fŸr den zweiten Breitenkreis nach dem Nordpol (Abb. 10b) den Radius:

 

                                                                                            (11)

 

Allgemein ist:

 

                                                                  (12)

 

Die Formel (12) ist identisch mit der Formel (4). Die Abbildung 11 zeigt die †berlagerung der Abbildungen 6a (Diagonalen im Zwšlfeck) und 9b (Blick auf den Nordpol). Es wird genau jeder zweite Meridian durch eine Diagonale des Zwšlfecks abgedeckt.

Abb. 11: †berlagerung

Die Abbildung 12 zeigt eine grafische Variante.

Abb. 12: Variante

Der Fall ãungeradeÒ kommt in der Kugelparametrisierung nicht vor. Warum nicht?

 

Websites

[1] ETH ZŸrich. Institut fŸr Kartografie und Geoinformation. Kartenprojektionen (24.04.2017):

http://swai.ethz.ch/swaie/MapProjector/MapProjector.de.html

 

[2] Hans Walser: Digonalenschnittpunkte in regelmŠ§igen Vielecken (24.04.2017):

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/D/Diagonalenschnittpunkte/Diagonalenschnittpunkte.htm