Hans Walser, [20230220]
Kreisspiegelung
Zu zwei verschieden großen Kreisen (grün und rot, Abb. 1) ist eine Kreisspiegelung gesucht, welche den grünen Kreis auf den roten abbildet und umgekehrt.
Abb. 1: Zwei Kreise
Die Abbildung 2 zeigt einen passenden Spiegelkreis (blau).
Abb. 2: Spiegelkreis
In der Abbildung 3 wird der grüne Kreis festgehalten und der rote Kreis hin- und hergeschoben.
Abb. 3: Animation
Es ist offensichtlich eine Fallunterscheidung erforderlich. Wenn der grüne und der rote Kreis sich nicht schneiden, gibt es nur eine Lösung. Sonst zwei.
Wir beschreiben dem grünen Kreis ein auf der Spitze stehendes Quadrat ein und spiegeln dieses mit (Abb. 4).
Abb. 4: Einbeschriebenes Quadrat
Das Spiegelbild des Quadrates besteht aus Kreisbögen.
Abb. 5: Inneres wird auf Inneres abgebildet
Das Bild des grünen Quadrates ist ein Kreisbogenviereck, das sich im Innern des roten Kreises befindet. Das Innere des grünen Kreises wird auf das Innere des roten abgebildet.
Die Orientierung wird, wie es sich für eine Spiegelung gehört, umgekehrt (Abb. 6).
Abb. 6: Änderung der Orientierung
Abb. 7: Inneres wird auf Äußeres abgebildet
Das Bild des grünen Quadrates ist ein Kreisbogenviereck außerhalb des roten Kreises (Abb. 7). Die Ecken des Kreisbogenviereckes sind nach innen gerichtet.
Das Innere des grünen Kreises wird auf das Äußere des roten Kreises abgebildet.
Auch hier wird die Orientierung umgekehrt (Abb. 8).
Abb. 8: Änderung der Orientierung
Im konzentrischen Fall erhalten wir eine schöne Figur (Abb. 9). Das liegt aber auch daran, dass der rote Kreis genau halb so groß wie der grüne gewählt wurde.
Abb. 9: Rosette
Die Abbildung 10 gibt eine Iteration der Figur der Abbildung 9.
Abb. 10: Iteration
In diesem Fall gibt es zwei Lösungen (Abb. 11). Beide Lösungen verlaufen durch die Schnittpunkte des grünen und des roten Kreises.
Abb. 11: Zwei Lösungen
In der ersten Lösung wird Inneres auf Inneres abgebildet, in der zweiten Lösung Inneres auf Äußeres.
Die Abbildung 12 zeigt den Konstruktionsvorgang.
Abb. 12: Konstruktionsvorgang
Die Abbildung 13 zeigt den Konstruktionsvorgang.
Abb. 13: Konstruktionsvorgang
Bei zwei sich schneidenden Kreisen finden wir die beiden Lösungen auch mit Winkelhalbierenden (Abb. 14).
Abb. 14: Konstruktionsvorgang
Websites
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Hans Walser: Kreisspiegelung und stereografische Projektion