Hans Walser, [20100203b]
Kreisspiegelung und stereografische Projektion
1
Worum es geht
Zwischen der Kreisspiegelung und der stereografischen Projektion besteht ein Link.
Situation
Die Spiegelung des
Kreises k am Kreis h ist dasselbe wie die stereografische Projektion von N aus.
2
Geometrischer Beweis
Die Kreisspieglung ist
Mšbiuskreistreu. Da der Kreis k durch
den Mittelpunkt N von h verlŠuft, ist sein Spiegelbild die rot
eingezeichnete x-Achse.
3
Rechnerischer Beweis
Bezeichnungen: 
, 
Wir nehmen an, 
sei das
stereografische Bild von P und berechnen
mit Hilfe der
Vektorgeometrie. Fźr die Gerade NP
erhalten wir:
Schnitt mit der x-Achse liefert:
Somit ist:
Nun prźfen wir, ob das
mit der Spiegelung am Kreis h kompatibel
ist. Da der Kreis h den Radius 
hat, ist zu
prźfen:
Also:
4
Beispiel
Die Abbildung 
(Variante der
Cayley-Transformation) bildet den Einheitskreis (Kreisscheibe) auf die untere
Halbebene ab. Die RŠnder entsprechen der oben geschilderten Situation.
Die Figur zeigt einen
Ausschnitt.
Variante der
Cayley-Transformation