Hans Walser, [20180618]

Kreistangente ohne Thaleskreis

1     Worum es geht

Von einem Punkt P au§erhalb eines Kreises k mit dem Mittelpunkt M (Abb. 1a) sollen die beiden Tangenten an den Kreis k gezeichnet werden. Traditionellerweise wird das mit dem Thaleskreis gemacht. Es geht auch ohne.

ZunŠchst erinnern wir uns an die Schule und anschlie§end besprechen wir das Konstruktionsverfahren ohne Thaleskreis.

2     Erinnerung an die Schule

In der Schule konstruiert man zunŠchst den Mittelpunkt N der Strecke MP (Abb. 1b).

Abb. 1: Aufgabenstellung. Erster Schritt

Anschlie§end zeichnet man den Thaleskreis n mit dem Zentrum N durch den Kreismittelpunkt M (Abb. 2a). Die Schnittpunkte des Thaleskreises n mit dem Kreis k sind die beiden Berźhrungspunkte B1 und B2 der beiden Tangenten t1 beziehungsweise t2, welche nun gezeichnet werden kšnnen (Abb. 2b).

Abb. 2: Thaleskreis

3     Konstruktion ohne Thaleskreis

Bei der Konstruktion ohne Thaleskreis zeichnen wir zunŠchst den Kreis l um M mit dem Radius d. Dabei ist d der Durchmesser des gegeben Kreises k (Abb. 3a).

Abb. 3: Konstruktion ohne Thaleskreis

Anschlie§end zeichnen wir einen Kreis p um P durch M (Abb. 3b). Die beiden Kreise l und p schneiden sich in den Punkten S1 und S2.

Nun schneiden wir die Verbindungsstrecken MS1 und MS2 mit dem Kreis k (Abb. 4a) und erhalten so die beiden Berźhrungspunkte B1 und B2 der beiden Tangenten t1 beziehungsweise t2, welche nun gezeichnet werden kšnnen (Abb. 4b).

Abb. 4: Berźhrungspunkte und Tangenten

Die Stimmigkeit der Konstruktion ergibt sich aus den in der Abbildung 5 eingezeichneten gleichschenkligen Dreiecken.

Abb. 5: Gleichschenklige Dreiecke

Bemerkung: Dieses Konstruktionsverfahren lŠsst sich auf Kegelschnitte verallgemeinern.

 

Websites

Hans Walser: Tangente an Kegelschnitt:

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/T/Tangenten_an_Kegelschnitt/Tangenten_an_Kegelschnitt.htm