Hans Walser, [20240730]
Kreiszweiecke
Anregung: Wilfried Dutkowski, Bonn
1 Worum es geht
Kreise in Kreiszweiecken.
2 Problemstellung
Wir beginnen mit zwei sich schneidenden Kreisen (grün in Abb. 1). Die Kreise haben die Zentren F1 und F2 und die Radien r1 respektive r2. Diese beiden Kreise unterteilen die Ebene in vier Gebiete: ein konvexe Linse (doppelt überlagert), zwei nicht konvexe Monde (je einfach überlagert) und das Außengebiet (nicht überlagert).
Abb. 1: Kreiszweiecke und ein Kreis
Nun zeichnen wir einen roten Kreis, der den einen der grünen Kreise von außen und den anderen von innen berührt.
Problemstellung: Wo liegt der Mittelpunkt M dieses Kreises?
3 Bearbeitung
Der rote Kreis habe den Radius r.
Für den Abstand |F1M| erhalten wir die Summe r1 + r, für den Abstand |F2M| die Differenz r2 – r.
Abb. 2: Abstände
Die Summe dieser Abstände ist r1 + r2. Das r fällt heraus.
Der Punkt M liegt also auf der Ellipse mit den Brennpunkten F1 und F2 und der Abstandssumme r1 + r2 (Abb. 2, Gärtnerkonstruktion“). Diese Ellipse läuft durch die beiden Schnittpunkte der beiden grünen Kreise, weil dort die Abstandssumme trivialerweise erfüllt ist (Abb. 3 und 4).
Abb. 3: Ellipse
Abb. 4: Ellipse
4 Hyperbel
Analog kann gezeigt werden, dass die Zentren der roten Kreise, welche die grünen Kreise beide entweder von innen (Linse) oder von außen berühren, auf der entsprechenden Hyperbel liegen (Abb. 5).
Abb. 5: Hyperbel
5 Sonderfall
Wir ersetzen einen der beiden Kreise durch eine Gerade (Abb. 6). Damit wandert einer der beiden Brennpunkte ins Unendliche. Aus Ellipse und Hyperbel werden Parabeln. Das verbleibende grüne Kreiszentrum ist deren gemeinsamer Brennpunkt. Mit Symmetrieüberlegungen lassen sich die Scheitelpunkte dieser Parabeln finden. Damit können sie konstruiert werden (Brennpunkt und Leitlinie). Die Leitlinien stehen senkrecht zur Symmetrieachse und verlaufen durch die Spiegelpunkte des Brennpunktes an den jeweiligen Parabelscheiteln (die Leitlinien sind nicht eingezeichnet).
Abb. 6: Kreis und Gerade. Parabeln
Die Abbildung 7 zeigt zwei eingepasste rote Kreise.
Abb. 7: Eingepasste Kreise
6 Sonderfall im Sonderfall
Die Gerade sei ein Durchmesser des Kreises. Die Leitlinien der beiden Parabeln sind dann die zum Durchmesser parallelen Tangenten an den Kreis (Abb. 8).
Abb. 8: Sonderfall im Sonderfall