Hans Walser, [20190401]

Kreuze

ăEs is halt a Kreiz! A Kreiz is'! O mei!Ň

(Thomas Mann, Buddenbrooks)

1   Worum geht es?

Ein beliebtes schulisches Tummelfeld fźr die Beweistechnik der vollstŠndigen Induktion sind AbzŠhlprobleme mit arithmetischen Folgen. Dazu ein Aprilscherz.

2   Kreuze

Die Abbildung 1 zeigt aus Kreisen aufgebaute Kreuze.

Abb. 1: Kreuze

Das Šu§erste Kreuz besteht aus 64 rotem Kreisen (nachzŠhlen!). Es ist von innen nach au§en gezŠhlt das fźnfte Kreuz.

3   Induktionsschritt

Die Abbildung 2 illustriert den Schritt von innen nach au§en.

Abb. 2: Von innen nach au§en

Wir sehen, dass an den acht Au§enecken je ein zusŠtzlicher Kreis benštigt wird. Fźr die Anzahl  der Kreise im n-ten Kreuz haben wir also einen Zuwachs von acht:

 

                                                                                                               (1)

 

 

 

Die Abbildung 3 zeigt den umgekehrten Schritt von au§en nach innen.

Abb. 3: Von au§en nach innen

Wir haben acht doppelt belegte Kreise in den Ecken, mźssen also um acht reduzieren:

 

                                                                                                               (2)

 

 

 

Die Formel (2) ist natźrlich mit der Formel (1) identisch. Der Induktionsschritt funktioniert in beiden Richtungen.

4   Die arithmetische Folge

Aus (1) ergibt sich, dass wir es mit einer arithmetischen Folge mit dem Zuwachs acht zu tun haben. Diese hat die explizite Form:

 

                                                                                                                 (3)

 

 

 

Fźr n = 5 haben wir schon  ausgezŠhlt. Damit erhalten wir aus (3):

 

                                                                                   (4)

 

 

 

Unsere arithmetische Folge hat also die explizite Darstellung:

 

                                                                                                                 (5)

 

 

 

5   Wo steckt der Fehler?

Die Tabelle 1 gibt einige berechnete Werte (zweite Zeile). Diese werden mit den tatsŠchlichen Werten (dritte Zeile) verglichen.

 

n

1

2

3

4

5

 berechnet

32

40

48

56

64

 tatsŠchlich

17

40

48

56

64

Tab. 1: Berechnete und tatsŠchlich Werte

Wir sehen eine Abweichung bei n = 1. Wo steckt der Fehler?