Hans Walser, [20190524]
Kreuzpuzzle
Idee und Anregung: Erlebnisland Mathematik, Technische Sammlungen Dresden, Junghansstra§e 1-3, 01277 Dresden, Deutschland
1 Worum geht es?
Ein Puzzle wird als Gelenkmodell und mit Parkettierung bearbeitet. Die beiden unterschiedlichen Lšsungswege fźhren zu verschiedenen Lšsungen.
Zusatzproblem mit zwei Kreuzen.
2 Das Puzzle
Die vier Teile des Kreuz-Puzzles der Abbildung 1 kšnnen zu einem Quadrat umgelegt werden (Abb. 2).
Abb. 1: Kreuz
Abb. 2: Quadrat
3 Erste Lšsung: Gelenkmodell
Die Abbildung 3 zeigt die den Abbildungen 1 und 2 entsprechende Lšsung mit verschiedenen Farben.
Abb. 3: Lšsung
Mit Ausnahme des gelben Teils sind die Teile in Kreuz beziehungsweise Quadrat zueinander verdreht. Fźr den †bergang vom Kreuz zum Quadrat brauchen wir Drehungen um 90ˇ (hellblau), um 180ˇ (grźn) und um 270ˇ (rot).
Wir kšnnen uns das Kreuz als Gelenkmodell mit drei Gelenken denken. Die Abbildung 4 zeigt, wie wir damit vom Kreuz zum Quadrat gelangen.
Dieser Studie ist eine Animation beigegeben, welche den †bergang vom Kreuz zum Quadrat illustriert.
Abb. 4.1: Gelenkmodell. Erster Schritt
Abb. 4.2: Gelenkmodell. Zweiter Schritt
Abb. 4.3: Gelenkmodell. Dritter Schritt
4 Zweite Lšsung: Parkett
Die Abbildung 5 zeigt eine zweite Lšsung. Das Kreuz ist gleich zerlegt wie in der Abbildung 3, das Quadrat ist aber verschieden. Die Teile sind in Kreuz beziehungsweise Quadrat nicht gegeneinander verdreht. Jedes Teil kann mit einer Translation vom Kreuz zum Quadrat gebracht werden.
Abb. 5: Zweite Lšsung
Zu dieser Lšsung gelangen wir mit einer Parkettierung.
Wir parkettieren die Ebene mit dem Kreuz (Abb. 6).
Abb. 6: Parkett mit Kreuzen
Jetzt sehen wir die Quadrate (Abb. 7).
Abb. 7: Quadrate
In der Abbildung 8 kšnnen wir wahlweise die Kreuze oder die Quadrate sehen.
Abb. 8: Kreuze oder Quadrate?
5 Zusatzproblem: Zwei Kreuze
Wie lassen sich zwei Kreuze (Abb. 9) je mit einem Schnitt so zerlegen, dass sich die vier Teile zu einem Quadrat zusammenfźgen lassen?
Abb. 9: Die beiden Kreuze
Die Abbildungen 10 und 11 zeigen eine Lšsung.
Abb. 10: Zerlegung der beiden Kreuze
Abb. 11: Quadrat
Die Abbildung 12 zeigt das zugehšrige Parkett.
Abb. 12: Parkett
6 Der Goldene Schnitt
Wir zeichnen in eines der beiden zerlegten Kreuze der Abbildung 10 den grš§ten Kreis, der gerade noch hineinpasst, den Inkreis also (Abb. 13).
Abb. 13: Inkreis und Goldener Schnitt
Der Inkreis teilt die Schnittstrecke im VerhŠltnis des Goldenen Schnittes (Walser 2013), und zwar in der Reihenfolge Minor, Major, Minor.
Websites
Erlebnisland Mathematik
http://www.tsd.de/de/mm/ausstellungen/erlebnisland-mathematik/
Literatur
Walser, Hans (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing źber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig. ISBN 978-3-937219-85-1.