Hans Walser, [20100207a]
KrŸmmung
In einem gekrŸmmten
Eisenbahngeleise ist die Šu§ere Schiene lŠnger als die innere. Diese Differenz
hŠngt natŸrlich von der Spurweite ab. Bei Breitspur ist sie grš§er als bei
Schmalspur. Diese Differenz hŠngt aber auch von der GeleiselŠnge ab. Bei einem
vollen Kreis ist sie doppelt so gro§ wie bei einem Halbkreis. Wir werden diese
Differenz als Ma§ fŸr die totale KrŸmmung verwenden.
Quer zu einer Kurve
zeichnen wir in regelmŠ§igen AbstŠnden Schwellen, auf denen wir nach links und
nach rechts je eine halbe Einheit abtragen. Darauf montieren wir die Schienen.
Die Abbildung zeigt das Vorgehen am Beispiel der Parabel:
Parabel
FŸr das obige Beispiel kšnnen numerisch
folgende Daten bestimmt werden:
TrasselŠnge = 11.30527944
Spurweite = 1
SchienenlŠnge rechts = 12.55432521
SchienenlŠnge links = 10.05623367
Mittlere SchienenlŠnge = 11.30527944
Totale KrŸmmung = 2.498091545 = 143.1301024¡
Mittlere KrŸmmung = 0.220966811
Die SchienenlŠnge
rechts ist lŠnger, die SchienenlŠnge links kŸrzer als die TrasselŠnge. Die
TrasselŠnge ist offenbar der Mittelwert der beiden SchienenlŠngen. Die
Differenz der beiden SchienenlŠngen wird hier offenbar als totale KrŸmmung
bezeichnet. DafŸr besteht ErklŠrungsbedarf, ebenso fŸr die Angabe der totalen
KrŸmmung als Winkel und den Begriff der mittleren KrŸmmung.
Unter der totalen
KrŸmmung einer Trasse mit Spurweite 1
verstehen wir die Differenz der SchienenlŠnge rechts minus der SchienenlŠnge
links. ãRechtsÒ und ãlinksÒ sind im Sinne des Kurvendurchlaufes zu verstehen.
Die SchienenlŠnge rechts kann durchaus die kŸrzere sein, wir haben dann eine
negative totale KrŸmmung.
Wenn wir die totale
KrŸmmung als Winkel im Bogenma§ (oder umgerechnet ins Degree-Ma§) verstehen,
erhalten wir den Schnittwinkel zwischen den TrŠgergeraden der ersten und der
letzten Schwelle.
Winkel-€nderung
Da die Schwellen
orthogonal zur Kurve sind, hei§t das aber auch, dass die totale KrŸmmung die RichtungsŠnderung der Kurve zwischen Startpunkt und Endpunkt angibt.
Die mittlere
KrŸmmung schlie§lich ist die totale
KrŸmmung dividiert durch die TrasselŠnge.
Bei vorgegebener Spurweite
1 kriegen wir nicht jede Kurve. Bei der Parabel macht die innere
Schiene seltsame Kapriolen.
Probleme mit der inneren
Schiene
Auch die berechneten
Daten machen stutzig:
TrasselŠnge = 4.646783762
Spurweite = 1
SchienenlŠnge rechts = 5.972601426
SchienenlŠnge links = 3.792890953
Mittlere SchienenlŠnge = 4.88274619
Totale KrŸmmung = 2.179710473 = 124.8882107¡
Mittlere KrŸmmung = 0.4690793858
Die mittlere
SchienenlŠnge ist etwas grš§er als die TrasselŠnge. Das Problem ist, dass die
innere Schiene ein StŸck weit rŸckwŠrts geht, aber das Computerprogramm diese
Strecke trotzdem additiv behandelt. Als Folge sind auch die totale und die
mittlere KrŸmmung falsch angegeben.
Wir kšnnen die Probleme
angehen, indem wir die Spurweite verkleinern. Dabei wird allerdings die
Differenz der SchienenlŠngen und entsprechend kleiner. Das kšnnen wir aber
kompensieren, indem wir diese Differenz durch die Spurweite dividieren. Somit
haben wir eine erweiterte Definition der totalen KrŸmmung:
Unter
der totalen KrŸmmung einer Trasse mit
beliebiger Spurweite verstehen wir die Differenz der SchienenlŠnge rechts minus
der SchienenlŠnge links, dividiert durch die Spurweite.
Wenn wir die Parabel mit der
Spurweite bearbeiten,
sieht das so aus:
TrasselŠnge = 4.646783762
Spurweite = 1/2
SchienenlŠnge rechts = 5.309692594
SchienenlŠnge links = 3.983874931
Mittlere SchienenlŠnge = 4.646783762
Totale KrŸmmung = 2.651635327 = 151.9275131¡
Mittlere KrŸmmung = 0.5706388468
Die mittlere
SchienenlŠnge entspricht nun der TrasselŠnge. Allerdings sieht das Gleisbild
immer noch etwas merkwŸrdig aus,
indem die innere Schiene einen Knick hat.
Innere Schiene hat einen
Knick
Wir verringern nun die
Spurweite auf .
TrasselŠnge = 4.646783762
Spurweite = 1/4
SchienenlŠnge rechts = 4.978238178
SchienenlŠnge links = 4.315329347
Mittlere SchienenlŠnge = 4.646783762
Totale KrŸmmung = 2.651635327 = 151.9275131¡
Mittlere KrŸmmung = 0.5706388468
Wir sehen, dass sich
die totale KrŸmmung nun nicht mehr Šndert. Auch die innere Schiene sieht recht
ordentlich aus.
Verkleinerte Spurweite
Es ist nahe liegend,
die beiden Gleiskurven als Parallelkurven
zur ursprŸnglichen Kurve zu bezeichnen. Allerdings ist es so, dass diese
Parallelkurven in der Regel komplizierter sind als die ursprŸngliche Kurve. In
den obigen Beispielen sind die Gleiskurven keine Parabeln.
Die LŠngenberechnungen
von Kurven fŸhren hŠufig zu Integralen, die formal nicht einfach zu bearbeiten
sind. Das gilt schon fŸr die ursprŸnglichen Kurven, insbesondere aber fŸr die
Parallelkurven, also die Gleiskurven. Man muss sich hier mit numerischer
Integration behelfen, was wiederum zu einem Verlust an Genauigkeit fŸhren kann.
Beim Kreis ist die
totale KrŸmmung , und dies unabhŠngig vom Radius r. Beim Kreis sind die Parallelkurven ebenfalls
Kreise. Wenn wir die Spurweite mit bezeichnen,
erhalten wir fŸr die totale KrŸmmung :
In dieses Umfeld gehšrt
die Frage, um wie viel sich eine um die Erdkugel gelegte Schnur verlŠngert,
wenn wir sie Ÿberall einen Meter abheben, so wie die Zusatzfrage, wie sich das
auf dem Mond verhŠlt.
FŸr die mittlere
KrŸmmung erhalten wir beim Kreis den vom Radius abhŠngigen Wert:
Eine totale KrŸmmung erhalten wir
allerdings auch bei deformierten Kreisen.
Als Beispiel eine
Ellipse:
Ellipse
TrasselŠnge = 19.37689644
Spurweite = 1/2
SchienenlŠnge rechts = 20.94769277
SchienenlŠnge links = 17.80610011
Mittlere SchienenlŠnge = 19.37689644
Totale KrŸmmung = 6.283185307 = 360.0¡
Mittlere KrŸmmung = 0.3242616962
Eigentlich versteht es
sich von selbst, dass alle einfach geschlossenen Kurven dieselbe totale
KrŸmmung wie der Kreis
haben. Nach einem Umlauf hat sich die Richtung ja um genau 360¡ verŠndert.
Gleisoval
Im klassischen der
Modelleisenbahn lŠsst sich wie beim Kreis elementar berechnen.
Der KrŸmmungsanteil der geraden TeilstŸcke ist null.
Bei einer Achterbahn
erhalten wir aus SymmetriegrŸnden die totale KrŸmmung null.
Achterbahn
TrasselŠnge = 37.71772519
Spurweite = 0.75
SchienenlŠnge rechts = 37.71772519
SchienenlŠnge links = 37.71772519
Mittlere SchienenlŠnge = 37.71772519
Totale KrŸmmung = 0 = 0¡
Mittlere KrŸmmung = 0
Bei einer ãDoppelachtÒ
ergibt sich wieder die totale KrŸmmung .
Doppelacht (Schwellen
nicht gezeichnet)
TrasselŠnge = 104.5233401
Spurweite = 0.25
SchienenlŠnge rechts = 105.3087383
SchienenlŠnge links = 103.7379419
Mittlere SchienenlŠnge = 104.5233401
Totale KrŸmmung = 6.283185307 = 360¡
Mittlere KrŸmmung = 0.06011274899
Bei einer Schlinge
ergibt sich .
Schlinge
TrasselŠnge = 29.06534466
Spurweite = 0.3
SchienenlŠnge rechts = 30.95030025
SchienenlŠnge links = 27.18038907
Mittlere SchienenlŠnge = 29.06534466
Totale KrŸmmung = 12.56637061 = 720¡
Mittlere KrŸmmung = 0.4323489283
Beim Kleeblatt ergibt
sich .
Kleeblatt
TrasselŠnge = 48.4422411
Spurweite = 0.4
SchienenlŠnge rechts = 52.21215229
SchienenlŠnge links = 44.67232992
Mittlere SchienenlŠnge = 48.4422411
Totale KrŸmmung = 18.84955592 = 1080¡
Mittlere KrŸmmung = 0.3891140354
Bei geschlossenen
Kurven ist offenbar die totale KrŸmmung ein Vielfaches von . Das ist anschaulich klar. Nach einem vollen Durchlauf
schaut die Lok wieder in derselben Richtung, hat sich also insgesamt um einen
Winkel gedreht, welche einem Vielfachen von entspricht.
Bei einer Wendeschleife
lŠsst sich elementar berechnen. Wir
haben einen Viertelkreis mit negativer KrŸmmung, welcher einen Viertelkreis mit
positiver KrŸmmung annulliert.
Wendeschleife
Das Programm ergibt
kleine Ungenauigkeiten in der Berechnung.
TrasselŠnge = 9.28
Spurweite = 0.2
SchienenlŠnge rechts = 9.59399552
SchienenlŠnge links = 8.966006066
Mittlere SchienenlŠnge = 9.280000793
Totale KrŸmmung = 3.13994727 = 179.9057265¡
Mittlere KrŸmmung = 0.3383563869
Bei den bisherigen
Beispielen wurde, eher als Ballast, jeweils auch die mittlere KrŸmmung, also
die totale KrŸmmung dividiert durch die TrasselŠnge, angegeben.
Wenn wir die
TrasselŠnge sukzessive verkŸrzen, nŠhert sich die mittlere KrŸmmung einem
Grenzwert, der MomentankrŸmmung. Im
folgenden nennen wir diese MomentankrŸmmung einfach KrŸmmung.
Wir nehmen die Parabel des
Eingangsbeispieles und verkŸrzen sie durch . Wir nŠhern uns also dem Scheitelpunkt im Ursprung.
FŸr erhielten wir
die Mittlere
KrŸmmung = 0.220966811.
FŸr ergibt sich:
VerkŸrzte Parabel
TrasselŠnge = 2.295587149
Spurweite = 1
SchienenlŠnge rechts = 3.080985313
SchienenlŠnge links = 1.510188986
Mittlere SchienenlŠnge = 2.295587149
Totale KrŸmmung = 1.570796327 = 90¡
Mittlere KrŸmmung = 0.6842677819
Nun verkŸrzen wir
weiter:
: Mittlere KrŸmmung =
0.9950306193
: Mittlere KrŸmmung =
0.9999500031
: Mittlere KrŸmmung =
0.9999995
: Mittlere KrŸmmung =
0.999999995
Wir haben
offensichtlich den Grenzwert 1. Unsere Parabel hat mit Ursprung die KrŸmmung 1.
FŸr ergibt sich:
Anderer Ausschnitt
TrasselŠnge = 4.504846145 = 0.7169685319*2*PI
Spurweite = 1
SchienenlŠnge rechts = 4.73666995
SchienenlŠnge links = 4.273022341
Mittlere SchienenlŠnge = 4.504846145
Totale KrŸmmung = 0.463647609 = 26.56505118¡
Mittlere KrŸmmung = 0.1029219632
Nun verkŸrzen wir
weiter:
: Mittlere KrŸmmung =
0.0895680425
: Mittlere KrŸmmung =
0.08944397131
: Mittlere KrŸmmung =
0.08944273162
: Mittlere KrŸmmung =
0.08944271923
Es zeichnet sich wieder
ein Grenzwert ab, aber ein anderer. Mit Methoden der Differenzialgeometrie kann
dieser Grenzwert exakt berechnet werden. Er ist .
Unsere Parabel hat im
Punkt die KrŸmmung . Diese KrŸmmung ist kleiner als die KrŸmmung im Ursprung,
was auch anschaulich klar ist.
Um die KrŸmmung in einem Kurvenpunkt zu bestimmen, wŠhlen wir ein
KurvenstŸck, das diesen Punkt enthŠlt, und berechnen die mittlere KrŸmmung
dieses KurvenstŸckes. Nun lassen wir das KurvenstŸck zu unserem Punkt zusammenschrumpfen.
Der Grenzwert der mittleren KurvenkrŸmmung ist die KrŸmmung in fokussierten
Kurvenpunkt.
Um die Steigung in
einem Punkt auf einem Funktionsgrafen zu bestimmen, nehmen wir ein KurvenstŸck
auf dem Funktionsgrafen, das diesen Punkt enthŠlt. Wir verbinden die Endpunkte
dieses KurvenstŸckes mit einer Sehne. Die Steigung dieser Sehne ist die
mittlere Steigung des KurvenstŸckes. Nun lassen wir das KurvenstŸck zu unserem
Punkt zusammenschrumpfen. Der Grenzwert der mittleren Steigung ist die Steigung
in fokussierten Kurvenpunkt. Geometrisch ist des die Steigung der
Kurventangente in diesem Punkt.
Wir arbeiten mit einem
Kreis mit Radius r. Wir haben oben schon
gesehen, dass seine mittlere KrŸmmung der Kehrwert ist.
Zur Bestimmung der
KrŸmmung in einem Kreispunkt arbeiten wir nun mit einem Kreissektor, der diesen
Punkt enthŠlt. Bei einem Sektorwinkel (im Bogenma§)
und der Spurweite ergeben sich die
BogenlŠnge , die beiden GleislŠngen und und somit die
totale KrŸmmung:
FŸr die mittlere
KrŸmmung folgt daraus:
Diese mittlere KrŸmmung
hŠngt nur vom Radius r ab und ist
konstant fŸr alle Kreisbogen. Daher ist dies auch der Grenzwert.
Der Kreis mit Radius r hat also in jedem Punkt die KrŸmmung . Je grš§er der Radius, umso kleiner die KrŸmmung.
Qualitativ sehen wir
sofort, wo eine Kurve stark gekrŸmmt ist und wo beinahe gerade. Es ist aber
— fŸr mich wenigstens — nicht einfach, den Wert der KrŸmmung in den
verschiedenen Kurvenpunkten abzuschŠtzen.
Die KrŸmmung kann aber
wie folgt visualisiert werden: ZunŠchst zeichnen wir die Kurve in eine x,y-Ebene. Dann tragen wir in jedem Kurvenpunkt die
KrŸmmung senkrecht dazu ab, also in den Raum hinein.
Wir nehmen wieder die
Parabel .
KrŸmmung der Parabel
Wir sehen, dass die
KrŸmmung im Scheitel am grš§ten ist und den Wert 1 hat und dann rasch abnimmt.
Wir visualisieren
einige der oben vorgestellten Beispiele.
Der Kreis hat die
KrŸmmung . Wir visualisieren im selben Bild die KrŸmmungen der Kreise
mit den Radien .
Kreise mit verschiedenen
Radien
Obwohl alle Kreise
Šhnlich sind, ist dies bei den KrŸmmungsbildern nicht der Fall.
Ellipse
Die KrŸmmung ist in den
so genannten ãspitzen ScheitelnÒ m grš§ten. Die senkrechte magenta FlŠche
entspricht der totalen KrŸmmung .
Gleisoval
Wir sehen die abrupten
KrŸmmungssprŸnge beim †bergang von geraden zu gekrŸmmten Schienen. Das sind die
Orte, wo die Lok jeweils entgleist, wenn man zu scharf darŸber fŠhrt.
Achterbahn
Im linken Teil ist die
KrŸmmung negativ, daher ist die totale KrŸmmung null.
Doppelacht
Wir haben positive und
negative KrŸmmungen. Die positiven KrŸmmungen Ÿberwiegen. .
Schlinge
Nur positive
KrŸmmungen.
Kleeblatt
Nur positive
KrŸmmungen.
Wendeschleife
Wiederum
KrŸmmungssprŸnge.
Um abrupte
KrŸmmungssprŸnge wie bei der aus Kreisbšgen und GeradenstŸcken gebauten
Wendeschleife zu vermeiden, wird bei der Trassierung von VerkehrstrŠgern mit
Klothoidenbšgen gearbeitet. Bei einer Klothoide wŠchst die KrŸmmung
gleichmŠ§ig.
Klothoide
In der Visualisierung
sehen wir das gleichmŠ§ige Wachstum der KrŸmmung.
Klothoide
Das Trasse ist
zusammengesetzt aus einem geraden StŸck, einem Klothoidenbogen und einem
Kreisbogen.
Zusammensetzung
Die stetige VerŠnderung
der KrŸmmung sehen wir in der Visualisierung.
Stetige VerŠnderung der
KrŸmmung