Hans Walser, [20100207a]

KrŸmmung

1        Idee

In einem gekrŸmmten Eisenbahngeleise ist die Šu§ere Schiene lŠnger als die innere. Diese Differenz hŠngt natŸrlich von der Spurweite ab. Bei Breitspur ist sie grš§er als bei Schmalspur. Diese Differenz hŠngt aber auch von der GeleiselŠnge ab. Bei einem vollen Kreis ist sie doppelt so gro§ wie bei einem Halbkreis. Wir werden diese Differenz als Ma§ fŸr die totale KrŸmmung verwenden.

2        Einheitsspur

2.1      Gleisbau

Quer zu einer Kurve zeichnen wir in regelmŠ§igen AbstŠnden Schwellen, auf denen wir nach links und nach rechts je eine halbe Einheit abtragen. Darauf montieren wir die Schienen. Die Abbildung zeigt das Vorgehen am Beispiel der Parabel:

Parabel


2.2      Differenz der GleislŠngen

FŸr das obige Beispiel  kšnnen numerisch folgende Daten bestimmt werden:

TrasselŠnge = 11.30527944

Spurweite = 1

SchienenlŠnge rechts = 12.55432521

SchienenlŠnge links = 10.05623367

Mittlere SchienenlŠnge = 11.30527944

Totale KrŸmmung = 2.498091545 = 143.1301024¡

Mittlere KrŸmmung = 0.220966811

Die SchienenlŠnge rechts ist lŠnger, die SchienenlŠnge links kŸrzer als die TrasselŠnge. Die TrasselŠnge ist offenbar der Mittelwert der beiden SchienenlŠngen. Die Differenz der beiden SchienenlŠngen wird hier offenbar als totale KrŸmmung bezeichnet. DafŸr besteht ErklŠrungsbedarf, ebenso fŸr die Angabe der totalen KrŸmmung als Winkel und den Begriff der mittleren KrŸmmung.


3        Totale KrŸmmung

3.1      Definitionen

Unter der totalen KrŸmmung einer Trasse mit Spurweite 1 verstehen wir die Differenz der SchienenlŠnge rechts minus der SchienenlŠnge links. ãRechtsÒ und ãlinksÒ sind im Sinne des Kurvendurchlaufes zu verstehen. Die SchienenlŠnge rechts kann durchaus die kŸrzere sein, wir haben dann eine negative totale KrŸmmung.

Wenn wir die totale KrŸmmung als Winkel im Bogenma§ (oder umgerechnet ins Degree-Ma§) verstehen, erhalten wir den Schnittwinkel zwischen den TrŠgergeraden der ersten und der letzten Schwelle.

Winkel-€nderung

Da die Schwellen orthogonal zur Kurve sind, hei§t das aber auch, dass die totale KrŸmmung die RichtungsŠnderung der Kurve zwischen Startpunkt und Endpunkt angibt.

Die mittlere KrŸmmung schlie§lich ist die totale KrŸmmung dividiert durch die TrasselŠnge.

3.2      TŸcken

3.2.1     Scharfe Kurven

Bei vorgegebener Spurweite 1 kriegen wir nicht jede Kurve. Bei der Parabel  macht die innere Schiene seltsame Kapriolen.

Probleme mit der inneren Schiene

Auch die berechneten Daten machen stutzig:

TrasselŠnge = 4.646783762

Spurweite = 1

SchienenlŠnge rechts = 5.972601426

SchienenlŠnge links = 3.792890953

Mittlere SchienenlŠnge = 4.88274619

Totale KrŸmmung = 2.179710473 = 124.8882107¡

Mittlere KrŸmmung = 0.4690793858

Die mittlere SchienenlŠnge ist etwas grš§er als die TrasselŠnge. Das Problem ist, dass die innere Schiene ein StŸck weit rŸckwŠrts geht, aber das Computerprogramm diese Strecke trotzdem additiv behandelt. Als Folge sind auch die totale und die mittlere KrŸmmung falsch angegeben.

Wir kšnnen die Probleme angehen, indem wir die Spurweite verkleinern. Dabei wird allerdings die Differenz der SchienenlŠngen und entsprechend kleiner. Das kšnnen wir aber kompensieren, indem wir diese Differenz durch die Spurweite dividieren. Somit haben wir eine erweiterte Definition der totalen KrŸmmung:

Unter der totalen KrŸmmung einer Trasse mit beliebiger Spurweite verstehen wir die Differenz der SchienenlŠnge rechts minus der SchienenlŠnge links, dividiert durch die Spurweite.

Wenn wir die Parabel  mit der Spurweite  bearbeiten, sieht das so aus:

TrasselŠnge = 4.646783762

Spurweite = 1/2

SchienenlŠnge rechts = 5.309692594

SchienenlŠnge links = 3.983874931

Mittlere SchienenlŠnge = 4.646783762

Totale KrŸmmung = 2.651635327 = 151.9275131¡

Mittlere KrŸmmung = 0.5706388468

Die mittlere SchienenlŠnge entspricht nun der TrasselŠnge. Allerdings sieht das Gleisbild immer noch etwas merkwŸrdig aus,  indem die innere Schiene einen Knick hat.

Innere Schiene hat einen Knick

Wir verringern nun die Spurweite auf .

TrasselŠnge = 4.646783762

Spurweite = 1/4

SchienenlŠnge rechts = 4.978238178

SchienenlŠnge links = 4.315329347

Mittlere SchienenlŠnge = 4.646783762

Totale KrŸmmung = 2.651635327 = 151.9275131¡

Mittlere KrŸmmung = 0.5706388468

Wir sehen, dass sich die totale KrŸmmung nun nicht mehr Šndert. Auch die innere Schiene sieht recht ordentlich aus.

Verkleinerte Spurweite

3.2.2     Parallelkurven

Es ist nahe liegend, die beiden Gleiskurven als Parallelkurven zur ursprŸnglichen Kurve zu bezeichnen. Allerdings ist es so, dass diese Parallelkurven in der Regel komplizierter sind als die ursprŸngliche Kurve. In den obigen Beispielen sind die Gleiskurven keine Parabeln.

3.2.3     LŠngenberechnungen

Die LŠngenberechnungen von Kurven fŸhren hŠufig zu Integralen, die formal nicht einfach zu bearbeiten sind. Das gilt schon fŸr die ursprŸnglichen Kurven, insbesondere aber fŸr die Parallelkurven, also die Gleiskurven. Man muss sich hier mit numerischer Integration behelfen, was wiederum zu einem Verlust an Genauigkeit fŸhren kann.

3.3      Weitere Beispiele

3.3.1     Kreis

Beim Kreis ist die totale KrŸmmung , und dies unabhŠngig vom Radius r. Beim Kreis sind die Parallelkurven ebenfalls Kreise. Wenn wir die Spurweite mit  bezeichnen, erhalten wir fŸr die totale KrŸmmung :

In dieses Umfeld gehšrt die Frage, um wie viel sich eine um die Erdkugel gelegte Schnur verlŠngert, wenn wir sie Ÿberall einen Meter abheben, so wie die Zusatzfrage, wie sich das auf dem Mond verhŠlt.

FŸr die mittlere KrŸmmung erhalten wir beim Kreis den vom Radius abhŠngigen Wert:

3.3.2     Ellipse

Eine totale KrŸmmung  erhalten wir allerdings auch bei deformierten Kreisen.

Als Beispiel eine Ellipse:

Ellipse

TrasselŠnge = 19.37689644

Spurweite = 1/2

SchienenlŠnge rechts = 20.94769277

SchienenlŠnge links = 17.80610011

Mittlere SchienenlŠnge = 19.37689644

Totale KrŸmmung = 6.283185307 = 360.0¡

Mittlere KrŸmmung = 0.3242616962

Eigentlich versteht es sich von selbst, dass alle einfach geschlossenen Kurven dieselbe totale KrŸmmung  wie der Kreis haben. Nach einem Umlauf hat sich die Richtung ja um genau 360¡ verŠndert.

3.3.3     Gleisoval

Gleisoval

Im klassischen der Modelleisenbahn lŠsst sich wie beim Kreis  elementar berechnen. Der KrŸmmungsanteil der geraden TeilstŸcke ist null.


3.3.4     Achterbahn

Bei einer Achterbahn erhalten wir aus SymmetriegrŸnden die totale KrŸmmung null.

Achterbahn

TrasselŠnge = 37.71772519

Spurweite = 0.75

SchienenlŠnge rechts = 37.71772519

SchienenlŠnge links = 37.71772519

Mittlere SchienenlŠnge = 37.71772519

Totale KrŸmmung = 0 = 0¡

Mittlere KrŸmmung = 0


3.3.5     Doppelacht

Bei einer ãDoppelachtÒ ergibt sich wieder die totale KrŸmmung .

Doppelacht (Schwellen nicht gezeichnet)

TrasselŠnge = 104.5233401

Spurweite = 0.25

SchienenlŠnge rechts = 105.3087383

SchienenlŠnge links = 103.7379419

Mittlere SchienenlŠnge = 104.5233401

Totale KrŸmmung = 6.283185307 = 360¡

Mittlere KrŸmmung = 0.06011274899

 


3.3.6     Schlinge

Bei einer Schlinge ergibt sich .

Schlinge

TrasselŠnge = 29.06534466

Spurweite = 0.3

SchienenlŠnge rechts = 30.95030025

SchienenlŠnge links = 27.18038907

Mittlere SchienenlŠnge = 29.06534466

Totale KrŸmmung = 12.56637061 = 720¡

Mittlere KrŸmmung = 0.4323489283

 


3.3.7     Kleeblatt

Beim Kleeblatt ergibt sich .

Kleeblatt

TrasselŠnge = 48.4422411

Spurweite = 0.4

SchienenlŠnge rechts = 52.21215229

SchienenlŠnge links = 44.67232992

Mittlere SchienenlŠnge = 48.4422411

Totale KrŸmmung = 18.84955592 = 1080¡

Mittlere KrŸmmung = 0.3891140354

Bei geschlossenen Kurven ist offenbar die totale KrŸmmung ein Vielfaches von . Das ist anschaulich klar. Nach einem vollen Durchlauf schaut die Lok wieder in derselben Richtung, hat sich also insgesamt um einen Winkel gedreht, welche einem Vielfachen von  entspricht.


3.3.8     Wendeschleife

Bei einer Wendeschleife lŠsst sich elementar  berechnen. Wir haben einen Viertelkreis mit negativer KrŸmmung, welcher einen Viertelkreis mit positiver KrŸmmung annulliert.

Wendeschleife

Das Programm ergibt kleine Ungenauigkeiten in der Berechnung.

TrasselŠnge = 9.28

Spurweite = 0.2

SchienenlŠnge rechts = 9.59399552

SchienenlŠnge links = 8.966006066

Mittlere SchienenlŠnge = 9.280000793

Totale KrŸmmung = 3.13994727 = 179.9057265¡

Mittlere KrŸmmung = 0.3383563869

4        Von der mittleren KrŸmmung zur MomentankrŸmmung

Bei den bisherigen Beispielen wurde, eher als Ballast, jeweils auch die mittlere KrŸmmung, also die totale KrŸmmung dividiert durch die TrasselŠnge, angegeben.

Wenn wir die TrasselŠnge sukzessive verkŸrzen, nŠhert sich die mittlere KrŸmmung einem Grenzwert, der MomentankrŸmmung. Im folgenden nennen wir diese MomentankrŸmmung einfach KrŸmmung.

4.1      Beispiel Parabel

4.1.1     KrŸmmung im Ursprung

Wir nehmen die Parabel  des Eingangsbeispieles und verkŸrzen sie durch . Wir nŠhern uns also dem Scheitelpunkt im Ursprung.

FŸr  erhielten wir die Mittlere KrŸmmung = 0.220966811.

FŸr  ergibt sich:

VerkŸrzte Parabel

TrasselŠnge = 2.295587149

Spurweite = 1

SchienenlŠnge rechts = 3.080985313

SchienenlŠnge links = 1.510188986

Mittlere SchienenlŠnge = 2.295587149

Totale KrŸmmung = 1.570796327 = 90¡

Mittlere KrŸmmung = 0.6842677819

Nun verkŸrzen wir weiter:

:          Mittlere KrŸmmung = 0.9950306193

:        Mittlere KrŸmmung = 0.9999500031

:      Mittlere KrŸmmung = 0.9999995

:    Mittlere KrŸmmung = 0.999999995

Wir haben offensichtlich den Grenzwert 1. Unsere Parabel hat mit Ursprung die KrŸmmung 1.


4.1.2     KrŸmmung im Punkt

FŸr  ergibt sich:

Anderer Ausschnitt

TrasselŠnge = 4.504846145 = 0.7169685319*2*PI

Spurweite = 1

SchienenlŠnge rechts = 4.73666995

SchienenlŠnge links = 4.273022341

Mittlere SchienenlŠnge = 4.504846145

Totale KrŸmmung = 0.463647609 = 26.56505118¡

Mittlere KrŸmmung = 0.1029219632

Nun verkŸrzen wir weiter:

:                      Mittlere KrŸmmung = 0.0895680425

:                  Mittlere KrŸmmung = 0.08944397131

:              Mittlere KrŸmmung = 0.08944273162

:          Mittlere KrŸmmung = 0.08944271923

Es zeichnet sich wieder ein Grenzwert ab, aber ein anderer. Mit Methoden der Differenzialgeometrie kann dieser Grenzwert exakt berechnet werden. Er ist .

Unsere Parabel hat im Punkt  die KrŸmmung . Diese KrŸmmung ist kleiner als die KrŸmmung im Ursprung, was auch anschaulich klar ist.

4.2      Definition der KrŸmmung

Um die KrŸmmung in einem Kurvenpunkt zu bestimmen, wŠhlen wir ein KurvenstŸck, das diesen Punkt enthŠlt, und berechnen die mittlere KrŸmmung dieses KurvenstŸckes. Nun lassen wir das KurvenstŸck zu unserem Punkt zusammenschrumpfen. Der Grenzwert der mittleren KurvenkrŸmmung ist die KrŸmmung in fokussierten Kurvenpunkt.

4.2.1     Erinnerung an die Schule: Steigung

Um die Steigung in einem Punkt auf einem Funktionsgrafen zu bestimmen, nehmen wir ein KurvenstŸck auf dem Funktionsgrafen, das diesen Punkt enthŠlt. Wir verbinden die Endpunkte dieses KurvenstŸckes mit einer Sehne. Die Steigung dieser Sehne ist die mittlere Steigung des KurvenstŸckes. Nun lassen wir das KurvenstŸck zu unserem Punkt zusammenschrumpfen. Der Grenzwert der mittleren Steigung ist die Steigung in fokussierten Kurvenpunkt. Geometrisch ist des die Steigung der Kurventangente in diesem Punkt.

4.3      KrŸmmung des Kreises

Wir arbeiten mit einem Kreis mit Radius r. Wir haben oben schon gesehen, dass seine mittlere KrŸmmung der Kehrwert  ist.

Zur Bestimmung der KrŸmmung in einem Kreispunkt arbeiten wir nun mit einem Kreissektor, der diesen Punkt enthŠlt. Bei einem Sektorwinkel  (im Bogenma§) und der Spurweite  ergeben sich die BogenlŠnge , die beiden GleislŠngen  und  und somit die totale KrŸmmung:

FŸr die mittlere KrŸmmung folgt daraus:

Diese mittlere KrŸmmung hŠngt nur vom Radius r ab und ist konstant fŸr alle Kreisbogen. Daher ist dies auch der Grenzwert.

Der Kreis mit Radius r hat also in jedem Punkt die KrŸmmung . Je grš§er der Radius, umso kleiner die KrŸmmung.

5        Visualisierung der KrŸmmung

Qualitativ sehen wir sofort, wo eine Kurve stark gekrŸmmt ist und wo beinahe gerade. Es ist aber — fŸr mich wenigstens — nicht einfach, den Wert der KrŸmmung in den verschiedenen Kurvenpunkten abzuschŠtzen.

Die KrŸmmung kann aber wie folgt visualisiert werden: ZunŠchst zeichnen wir die Kurve in eine x,y-Ebene. Dann tragen wir in jedem Kurvenpunkt die KrŸmmung senkrecht dazu ab, also in den Raum hinein.

5.1      Beispiel Parabel

Wir nehmen wieder die Parabel .

KrŸmmung der Parabel

Wir sehen, dass die KrŸmmung im Scheitel am grš§ten ist und den Wert 1 hat und dann rasch abnimmt.

5.2      Weitere Beispiele

Wir visualisieren einige der oben vorgestellten Beispiele.

5.2.1     Kreis

Der Kreis hat die KrŸmmung . Wir visualisieren im selben Bild die KrŸmmungen der Kreise mit den Radien .

Kreise mit verschiedenen Radien

Obwohl alle Kreise Šhnlich sind, ist dies bei den KrŸmmungsbildern nicht der Fall.

5.2.2     Ellipse

Ellipse

Die KrŸmmung ist in den so genannten ãspitzen ScheitelnÒ m grš§ten. Die senkrechte magenta FlŠche entspricht der totalen KrŸmmung .

5.2.3     Gleisoval

Gleisoval

Wir sehen die abrupten KrŸmmungssprŸnge beim †bergang von geraden zu gekrŸmmten Schienen. Das sind die Orte, wo die Lok jeweils entgleist, wenn man zu scharf darŸber fŠhrt.

5.2.4     Achterbahn

Achterbahn

Im linken Teil ist die KrŸmmung negativ, daher ist die totale KrŸmmung null.

5.2.5     Doppelacht

Doppelacht

Wir haben positive und negative KrŸmmungen. Die positiven KrŸmmungen Ÿberwiegen. .

5.2.6     Schlinge

Schlinge

Nur positive KrŸmmungen.

5.2.7     Kleeblatt

Kleeblatt

Nur positive KrŸmmungen.

5.2.8     Wendeschleife

Wendeschleife

Wiederum KrŸmmungssprŸnge.

6        Trassierung im Bauwesen

6.1      Die Klothoide

Um abrupte KrŸmmungssprŸnge wie bei der aus Kreisbšgen und GeradenstŸcken gebauten Wendeschleife zu vermeiden, wird bei der Trassierung von VerkehrstrŠgern mit Klothoidenbšgen gearbeitet. Bei einer Klothoide wŠchst die KrŸmmung gleichmŠ§ig.

Klothoide


In der Visualisierung sehen wir das gleichmŠ§ige Wachstum der KrŸmmung.

Klothoide

6.2      Zusammensetzung

Das Trasse ist zusammengesetzt aus einem geraden StŸck, einem Klothoidenbogen und einem Kreisbogen.

Zusammensetzung

Die stetige VerŠnderung der KrŸmmung sehen wir in der Visualisierung.

Stetige VerŠnderung der KrŸmmung