Hans Walser, [20100120a]

KrŸmmung der KrŸmmung

1        Idee

Zu einer Funktion  sei ,  die KrŸmmung des Funktionsgrafen von , und allgemein  die KrŸmmung des Funktionsgrafen von . Wir iterieren also die KrŸmmung. Ob das mathematische oder sonstwie sinnvoll ist, bleibe dahingestellt. Lustig ist es allemal.

2        Programm

MuPAD-Programm, am Beispiel fŸr .

 

f:=x->x^2:    // Funktion

 

N:=2:      // Obergrenze

 

a:=-3:     // untere Intervallgrenze

b:=3:      // obere Intervallgrenze

 

k[0]:=f:

 

for n from 1 to N do

 k[n]:=k[n-1]''/((1+(k[n-1]')^2)^(3/2)):

end_for:

 

kurve:=n->plot::Curve2d([x, float(k[n](x))], x=a..b,

LineWidth=1/2, LineColor=[1-n/N,0,n/N], Mesh=100*n+100):

 

plot(kurve(n)$n=0..N,

Scaling=Constrained, TicksDistance=1, TicksBetween=0,

ViewingBox=[a..b,-3..3], AxesLineWidth=0.5, 

AxesTitleFont=["Times", 12, Italic],

TicksLabelFont=["Times", 12], Width=140, Height=140)

 

Die Obergrenze  gibt an, dass wir die Ÿbliche KrŸmmung () und die KrŸmmung des Diagramms der Ÿblichen KrŸmmung bearbeiten und plotten.

Der Farbcode geht nach ãje blauer desto krummÒ. Rot ist die Ausgangsfunktion, blau die letzte der berechneten KrŸmmungsfunktionen.

Im Beispiel des Programms erhalten wir:

Quadratfunktion, KrŸmmung, KrŸmmung der KrŸmmung

3        Beispiele

Bildergalerie mit einigen Beispielen

3.1      Exponentialfunktion

Exponentialfunktion

3.2      Oberer Halbkreis

Oberer Halbkreis

Nun ja, das war zu erwarten.


3.3      Glockenkurve der Normalverteilung

Glockenkurve

3.4      Arcustangens

Arcustangens