Hans Walser, [20160206]
Krźmmungen
Wir zeichnen im Ursprung eine Strecke der LŠnge 2ą senkrecht nach oben (Abb. 1). Dann krźmmen wir nach rechts oder links mit den Krźmmungen .
Abb. 1: Bšgen der LŠnge 2ą
Bei der Krźmmung erhalten wir je einen Einheitskreis.
Die Abbildung 2 zeigt dasselbe mit Krźmmungen von –1 bis +1 in Schritten von Vierzigsteln.
Abb. 2: Struwwelpeter
Der Umriss der Figur ist eine Art Herzkurve (Abb. 3).
Abb. 3: Herzkurve
Diese Herzkurve hat die Parameterdarstellung:
(1)
Bei unserer Herzkurve handelt es sich nicht um die źbliche Kardioide. In der Abbildung 4 ist zusŠtzlich die (passend skalierte) Kardioide schwarz eingezeichnet.
Abb. 4: Schwarze Kardioide
In der Abbildung 5 ist der Parameterbereich fźr die Krźmmung k auf die reellen Zahlen ausgedehnt, also:
(2)
Abb. 5: Ausgedehnter Parameterbereich
In [1] ist eine Herzkurve beschrieben, die optisch mit der unsrigen deckungsgleich ist. Skaliert auf die Disposition in unserem Fall hat sie die Parameterdarstellung:
(3)
Wir zeigen, dass (1) und (3) dieselbe Kurve beschreiben. Dazu formen wir (3) in (1) um.
Wegen der Symmetrie zur y-Achse kšnnen wir in (3) in der x-Komponente das Vorzeichen wechseln:
(4)
Nun ersetzen wir und erhalten:
(5)
Weiter verwenden wir die trigonometrischen IdentitŠten:
(6)
Durch Anwenden von (6) in (5) erhalten wir (1). Dies war zu zeigen.
Website
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/H/Herzkurve/Herzkurve.htm