Hans Walser, [20181209a]
Kubikzahlen
Visuelle Bearbeitung einer Aufgabe von Thomas Jahre, Chemnitz
1 Worum geht es?
1³ = 1 = 1
2³ = 8 = 3 + 5
3³ = 27 = 7 + 9 + 11 (1)
4³ = 64 = 13 + 15 + 17 + 19
5³ = 125 = 21 + 23 + 25 + 27 + 29
Und?
2 Die ungeraden Zahlen
Abb. 1: Ungerade Zahlen
Die ungeraden Zahlen kšnnen als Winkel visualisiert werden (Abb. 1).
Die Zahl 1 entspricht dem kleinen roten Quadrat links.
Die Zahl 3 entspricht drei in einem Winkel angeordneten hellblauen Quadraten.
Die Zahl 5 entspricht fźnf in einem Winkel angeordneten gelben Quadraten.
Und so weiter.
3 Gruppierung
Abb. 2: Gruppierung
Wir gruppieren die Winkel in Gruppen von je 1, 2, 3, 4, 5, ... Winkeln. In der Abbildung 2 sind die Gruppen abwechslungsweise rot-grźn und hellblau-gelb dargestellt. Die Gruppengrenzen sind mit dicken schwarzen Linien gezeichnet.
Durch diese Gruppierung erhalten wir dicke Winkel mit den Schenkelbreiten 1, 2, 3, 4, 5, ... .
4 UmfŠrben
Abb. 3: UmfŠrben
Wir fŠrben innerhalb jeder Gruppe (also in jedem dicken Winkel) um, so dass gleichfarbige Quadrate und an den Enden allenfalls halbe Quadrate entstehen (Abb. 3). Die Anzahlen der kleinen Quadrate in den beiden Farben einer Gruppe werden dabei verŠndert, die Gesamtzahl der kleinen Quadrate bleibt aber unverŠndert. Vgl. Nelsen (2000), S. 85.
5 Einbettung in den Raum
Abb. 4: Wir gehen in den Raum
6 Trennung der dicken Winkel
Abb. 5: Trennung der dicken Winkel
Jeder dicke Winkel ist aus n quadratischen Platten (allenfalls zwei halbe Platten) der KantenlŠnge n zusammengesetzt.
7 Zerschneiden und Aufstapeln
Abb. 6: Zerschneiden und Aufstapeln
Wir zerschneiden die dicken Winkel in diese Platten und stapeln diese aufeinander.
So entstehen Wźrfel der KantenlŠnge n. Damit ist (1) illustriert.
Literatur
Nelsen, Roger B. (2000): Proofs without Words. MAA, The Mathematical Association of America. ISBN 978-0883857007
Weblink
Hans Walser: Summenformel
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Summenformel/Summenformel.htm