Hans Walser, [20080517a]

Kubische Parabel

Anregung: [Kalman 2008]

1        Mitte zweier Nullstellen

Bei der Besprechung der Nullstellenbestimmung nach dem Approximationsverfahren von Newton-Raphson stellt sich im Unterricht die Frage, zu welcher Nullstelle ein gewŠhlter Startwert fŸhrt.

Um dies auszutesten, wŠhlte JŸrg genau das arithmetische Mittel zweier Nullstellen einer kubischen Parabel als Startwert. Zu seinem und auch meinem Erstaunen fŸhrte gleich der erste Approximationsschritt exakt zur dritten Nullstelle.

Was steckt dahinter?

2        Verallgemeinerung

Statt mit einer Tangente kšnnen wir auch mit Sekanten arbeiten.

Die kubische Parabel habe die Nullstellen , , . Die Parabel hat also die Gleichung:

Ferner sei  das arithmetische Mittel zweier Nullstellen, zum Beispiel:

Nun wŠhlen wir zwei Werte, welche symmetrisch zu  (und damit auch zum Nullstellenpaar , ) liegen, also:

 und

Schlie§lich sei  die Sektante durch die beiden Parabelpunkte  und . Dann verlŠuft diese Sekante  durch die dritte Nullstelle, das hei§t durch den Punkt .

FŸr den Grenzfall  erhalten wir den oben geschilderten Sonderfall mit der Tangente.

3        Beweis

Den Beweis organisieren wir rŸckwŠrts, indem wir mit einer Geraden durch die dritte Nullstelle beginnen und dann die Schnittpunkte mit der Parabel berechnen. Die Gerade hat die Gleichung:

Schnitt mit der Parabel fŸhrt auf:

Eine Lšsung dieser kubischen Gleichung ist natŸrlich . FŸr die anderen beiden Lšsungen dividieren wir durch den zugehšrigen Linearfaktor und erhalten die quadratische Gleichung:

Diese hat die beiden Lšsungen:

    und   

Diese beiden Lšsungen liegen tatsŠchlich symmetrisch zu .

4        Schwerpunkt aller drei Nullstellen

FŸr  ergibt sich mit  der Wendepunkt der kubischen Parabel.

Beweis: Wir mŸssen die zweite Ableitung null setzen:

Literatur

[Kalman 2008]           Kalman, Dan: The Most Marvelous Theorem in Mathematics. Math HORIZONS, Published by the Mathematical Association of America. 16 April 2008. P. 16-17