Hans Walser, [20191126]

Kuboktaeder-Kantenmodell

1   Worum geht es?

Es wird ein Kantenmodell des Kuboktaeders vorgestellt. Als Baumaterial dienen Rechtecke aus Papier mit dem SeitenverhŠltnis . FŸr jede Kante braucht es ein Papier, die Bauteile reprŠsentieren die Kanten des Modells.

2   Das Kuboktaeder

Wenn wir bei einem WŸrfel alle Ecken bis zur Kantenmitte hin abschneiden entsteht ein Kuboktaeder (Abb. 1a).

Abb. 1: Kuboktaeder

Die OberflŠche des Kuboktaeders besteht aus sechs Quadraten und acht gleichseitigen Dreiecken. Der Umkugelradius ist gleich gro§ wie die KantenlŠnge. Wir kšnnen jede der zwšlf Ecken mit dem Mittelpunkt verbinden und erhalten so eine Figur aus 24 gleichseitigen Dreiecken (Abb. 1b). Im Mittelpunkt treffen sich die Spitzen von acht hohlen Tetraedern und sechs hohlen Pyramiden, welche je ein halbes hohles Oktaeder sind.

Unser Kantenmodell besteht nun aus 24 doppelwandigen gleichseitigen Dreiecken, welche alle eine Spitze im Mittelpunkt haben. FŸr jedes Dreieck brauchen wir ein Bauteil.

3   Bauteil

Jedes der 24 Bauteile entsteht aus einem Papierrechteck mit dem SeitenverhŠltnis  (Abb. 2a). In den Abbildungen ist aus didaktischen GrŸnden ein Papier angenommen, das auf der Vorderseite hellblau und auf der RŸckseite gelb ist. PapierstŠrke etwa 70-90 g/m2.

Wir legen eine Faltschablone mit denselben Ausma§en aus etwas stŠrkerem Papier diagonal darŸber (Abb. 2b). Es ist egal, welche der beiden Diagonalen wir wŠhlen, aber wir mŸssen es bei allen Bauteilen gleich machen.

Abb. 2: Rechteck und Faltschablone

Nun falten wir die vorstehenden Ecken des Papiers Ÿber die Faltschablone (Abb. 3). Die beiden Papierecken treffen sich genau in der Mitte der Faltschablone (warum?).

Abb. 3: Ecken einfalten

Die Faltschablone kšnnen wir nun herausziehen (Abb. 4a). Es entsteht ein Rhombus der aus zwei gleichseitigen Dreiecken besteht.

Abb. 4: Fertigstellung des Bauteils

Nun falten wir den einen Teil des Rhombus nach hinten (Abb. 4b). Diese letzte Faltkante wird dann zu einer Kante des Kuboktaeders. Wir haben nun ein Bauteil mit zwei Verbindungslaschen (gelb in Abb. 4b) zum Einschieben in die Nachbarteile. Eine Verbindungslasche ist vorn, die andere hinten.

Die Abbildung 5 zeigt zwei Ansichten eines Bauteils.

Abb. 5: Bauteil

4   Zusammenbau

Und nun kommt das Interessante, der Zusammenbau. Wir schieben jeweils eine Verbindungslasche zwischen die beiden gleichseitigen Dreiecke des Nachbarbauteils. Es empfiehlt sich, den Zusammenbau zunŠchst schrittweise mit BŸroklammern zu fixieren. An jeder Ecke des Kuboktaeders hat es dann vier BŸroklammern, da an jeder Ecke vier Kanten zusammenkommen. Wenn alles sitzt, kšnnen die BŸroklammern schrittweise entfernt und durch eine Heftklammer mit dem Tacker ersetzt werden. Dabei hat man den Ehrgeiz, dass die Klammern symmetrisch eingebracht werden. Die Abbildungen 6 und 7 zeigen das fertige Modell. Es ist ãdŸnnÒ und hat kein Volumen. In der Abbildung 6 steht das Modell auf einem Vierkant-Trichter (wie bei der Abb. 1b). Entsprechend haben wir auch oben einen Vierkant-Trichter. Er hat eine Pyramidenform, mit der Spitze nach unten.

Abb. 6: Modell

In der Abbildung 7 steht das Modell auf einem Dreikant-Trichter. Er hat die Form eines regelmŠ§igen Tetraeders.

Abb. 7: Andere Position des Modells

5   Farben

In den Abbildungen 8 bis 10 wurde mit farbigen Bauteilen gearbeitet. Es sind je sechs Bauteile in den Farben orange, gelb, lila und hellblau. Da an jeder Ecke des Modells vier Bauteile zusammenkommen, kann man es so einrichten, dass sich an jeder Ecke zwei Farben kreuzen.

In der Abbildung 8 steht das Modell auf einem Vierkant-Trichter (wie bei den Abb. 1b und 6). Entsprechend haben wir auch oben einen Vierkant-Trichter. Er hat eine Pyramidenform, mit der Spitze nach unten. Jede SeitenflŠche des Vierkant-Trichters hat eine andere Farbe.

Abb. 8: Farbiges Modell

In der Abbildung 9 steht das Modell auf einem Dreikant-Trichter (analog Abb. 7). Er hat die Form eines regelmŠ§igen Tetraeders.

Abb. 9: Andere Position

In der Abbildung 10 wurde die Situation der Abbildung 9 so aufgenommen, dass wir alle orangen Bauteile sehen. Sie bilden ein regelmŠ§iges Sechseck.

Abb. 10: RegelmŠ§iges Sechseck

Insgesamt haben wir vier regelmŠ§ige Sechsecke in unserer Figur, je eins in jeder Farbe.

6   Farbkombinatorik

Bei jeder Vierseit-Pyramide kommen alle vier Farben vor, aber jedes Mal in einer andren zyklischen Reihenfolge. In der Abbildung 8 ist oben sichtbar die zyklische Reihenfolge orange-gelb-lila-hellblau.

Bei vier Farben gibt es  zyklische Reihenfolge (Abb. 11). In unserem Modell kommt jede dieser sechs zyklischen Reihenfolgen genau einmal vor.

Abb. 11: Zyklische Reihenfolgen von vier Farben

Bei jedem Tetraeder kommen drei der vier Farben vor. Dazu gibt es  Mšglichkeiten. Zu jeder Mšglichkeit gibt es zwei zyklische Reihenfolgen (Abb. 12). Wir haben also insgesamt acht FŠlle. In unserem Modell kommt jeder dieser acht FŠlle genau ein Mal vor.

Abb. 12: Farbverteilungen bei den Tetraedern

An jeder der zwšlf Ecken des Modells sehen wir zwei sich kreuzende Farben. Das gibt zunŠchst  Mšglichkeiten. Die zugehšrigen Sechsecke schneiden sich unter dem kristallografischen Winkel:

 

                                                                                                   (1)

 

 

 

 

Unter BerŸcksichtigung des (von au§en gesehenen) Drehsinns gibt es nun zwšlf Mšglichkeiten (Abb. 13). In unserem Modell kommt jeder dieser zwšlf FŠlle genau ein Mal vor.

Abb. 13: Situationen an den Ecken

 

Websites

Hans Walser: Kantenmodell des WŸrfels und des Tetraeders

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kantenmodell_Wuerfel/Kantenmodell_Wuerfel.htm