Hans Walser, [20090824a]

Kugel-Steckmodelle

1        Worum geht es?

Es werden Steckmodelle von Kugeln besprochen. Dabei werden Gro§kreise, in EinzelfŠllen auch Kleinkreise, aus starkem Papier geschnitten, geschlitzt oder gekerbt und zusammengesteckt. Allgemeines Ÿber Steckmodelle siehe [Walser 2009].

2        Gro§kreismodelle

2.1      Kugelmodell mit drei Gro§kreisen

Durch Projektion des Oktaeders auf seine Umkugel erhalten wir drei paarweise orthogonale Gro§kreise.

Oktaeder und Projektion auf die Umkugel

2.1.1     Einfachstes Modell

 

Steckmodell mit drei Gro§kreisen

Wir verwenden drei verschiedene Bauteile.

Bauteile

FŸr das Zusammenstecken werden die Bauteile in der Reihenfolge von links nach rechts eingebaut. Beim Zusammenstecken ist ein wenig sanfte Gewalt nštig — eine †bung in Feinmotorik.

2.1.2     Die Versuchung

An sich (was immer ãan sichÒ hei§t) kŠme man mit drei Exemplaren des mittleren Bauteils aus.

Drei gleiche Bauteile?

Wir brŠuchten also nur einen Bauteiltyp. Es mŸsste dann einfach der rote Bauteil durch den grŸnen gesteckt werden, der grŸne durch den blauen und der blaue durch den roten. Ausprobieren! — Der erste Schritt geht problemlos, aber dann kommen wir in Schwierigkeiten. Die drei Bauteile sind topologisch gesehen Ringe, welche wie die drei borromŠischen Ringe wechselseitig ineinander verschlungen sein mŸssten.

Drei borromŠische Ringe

Drei nicht verschlungene Ringe kšnnen wir aber nur in die borromŠische Lage bringen, indem wir einen der drei Ringe aufschneiden und nach dem ZusammenfŸgen wieder zusammenlšten. So machen es die ZauberkŸnstler mit ihren acht Ringen...

2.1.3     Gleiche Bauteile

Allerdings geht es mit gleichen Bauteilen. Allerdings mŸssen wir die Kreise sozusagen halbieren. Wir brauchen daher sechs Bauteile.

Modell mit sechs gleichen Bauteilen

Bauteilmuster:

Bauteil

2.1.4     Beliebiges sphŠrisches Dreieck

Unser Modell unterteilt die KugeloberflŠche in acht kongruente sphŠrische Dreiecke, deren SeitenlŠngen (auf der Einheitskugel) je  sind, und die drei rechte Winkel haben.

Wir bauen nun eine Kugel mit einem beliebigen sphŠrischen Dreieck mit den SeitenlŠngen a, b, c (bezogen auf die Einheitskugel mit dem Umfang 2¹). Wir kšnnen entweder mit drei Kreisbauteilen arbeiten oder mit drei Paaren von Halbkreisbauteilen.

Bei drei Kreisscheiben ist die Topologie dieselbe wie beim einfachsten Modell oben.

Drei Kreisscheiben

Im Anhang das Beispiel in extenso. Es ist auch eine spiegelbildliche Version angegeben. Die Idee dabei ist, das Beispiel auf einem Farbdrucker auszudrucken, auszuschneiden und dann die gleichfarbenen Bauteile zweiseitig zu verwenden. Ein Zusammenkleben ist nicht einmal nštig, die Teile halten durch das Zusammenstecken.

Bei drei Paaren von Halbkreisbauteilen kann das so aussehen:

Halbkreis-Bauteile

In der folgenden Abbildung ist das fragliche sphŠrische Dreieck oben.

SphŠrisches Dreieck

Dieses Modell ist geeignet, um die Herleitung der FlŠchenformel mit dem sphŠrischen Exzess zu visualisieren.

2.2      Kugelmodell mit vier Gro§kreisen

Durch Projektion des Kuboktaeders auf seine Umkugel erhalten wir die Situation der folgenden Abbildung. Die KugeloberflŠche wird durch vier Gro§kreise in acht sphŠrische Dreiecke und sechs sphŠrische Vierecke unterteilt.

Kuboktaeder und Projektion auf die Umkugel

2.2.1     Einfaches Modell

Kugelmodell des Kuboktaeders

Wir benštigen vier Bauteile gemŠ§ Figur:

Bauteile

FŸr das Zusammenstecken werden die Bauteile in der Reihenfolge von links nach rechts eingebaut.

2.2.2     Modell mit gleichen Bauteilen

Zwšlf gleiche Bauteile

Der einzelne Bauteil ist im Prinzip (Winkelabstand zwischen den Šu§ersten Kerben) ein Drittelskreis.

Bauteil

Da wir vier Gro§kreise haben, brauchen wir also zwšlf gleiche Bauteile.

2.3      Kugelmodell mit sechs Gro§kreisen

Wir projizieren das Ikosidodekaeder auf seine Umkugel.

Ikosidodekaeder und Projektion auf Umkugel

Dies fŸhrt zu einer Figur mit sechs Gro§kreisen.

An sich ist es mšglich, ein Modell mit sechs Teilen zu bauen.

Modell aus sechs Teilen

Die Teile sind ungleich.

Bauteile

Das Zusammenstecken ist Šu§erst heikel, besonders das Einbringen des letzten Bauteils ist etwa vergleichbar mit der Erdumsegelung des Ferdinand de Magellan. Es empfiehlt sich daher, insbesondere bei den letzten Bauteilen, mit zwei HŠlften zu arbeiten.

Halbierte Bauteile

€u§erlich sieht man das dem Modell nicht an.

Ikosidodekaeder

3        Die geografische Kugel

3.1      Meridiane und Breitenkreise

Modell mit einer 30¡-Rasterung.

Meridiane und Breitenkreise

Blick auf den SŸdpol

FŸr die Meridiane brauchen wir 12 Bauteile, welche paarweise aus sechs Typen bestehen.

               

Bauteile fŸr die Meridiane

Der zweite und der sechste Bauteil sind symmetrisch, ebenso der dritte und der vierte. Wenn wir mit beidseitig gleichfarbenem Papier arbeiten, kšnnen wir diese Teile zusammenfassen. Bei der Verwendung von Fotos unter BerŸcksichtigung der beiden Seiten sind die Teile verschieden.

Die Bauteile finden sich gro§formatig im Anhang.

FŸr den €quator brauchen wir 2 Bauteile, fŸr die Breitenkreise ±30¡ insgesamt vier Bauteile und ebenso fŸr die Breitenkreise ±60¡.

          

Bauteile fŸr €quator und Breitenkreise

FŸr die Herstellung der Bauteile habe ich mit Kartonschablonen gearbeitet. Die Schablone wird auf die RŸckseite der Foto gelegt und mit Kugelschreiber Ÿbertragen.

Die Schablone links kann fŸr alle 6 Typen von Meridianen verwendet werden, dazu dienen die FŸhrungslšcher auf der Achse.

Schablonen fŸr die Bauteile

Das Zusammenstecken beginnt mit den Meridianen an der Erdachse. Die zwei gleichen Bauteile ergŠnzen sich zu einem Gro§kreis. Anschlie§end werden die Bauteile fŸr €quator und Breitenkreise eingesteckt.


3.2      Meridianebenen und Breitenkegel

Wir ersetzen die Breitenkreisebenen durch Breitenkreiskegel mit Spitze im Kugelzentrum und dem Breitenkreis als Leitkreis. Das Modell ist geeignet, die Kugelkoordinaten zu erklŠren. Auch Punkte im Kugelinnern haben die ãrichtigeÒ geografische Breite. Modell mit einer 30¡-Rasterung.

Meridianebenen und Breitenkegel

Sicht auf den Nordpol

FŸr die Meridiane brauchen wir 12 Bauteile, welche paarweise aus sechs Typen bestehen.

Bauteile fŸr die Meridiane

Bauteile fŸr €quator und Breitenkegel

Die Bauteile fŸr €quator und Breitenkegel haben alle denselben Radius, hingegen sind die WinkelabstŠnde der Kerben verkŸrzt.

FŸr den €quator brauchen wir zwei der Bauteile links, fŸr die Breitenkegel ± 30¡ insgesamt vier der Bauteile Mitte und fŸr die Breitenkegel ± 60¡ insgesamt zwei der Bauteile rechts,  da dieser Bauteil den ganzen Kegelmantel (inklusive †berlappungen an den NŠhten) darstellt.

4        Technisches

Die Bauteile sind aus starkem Papier geschnitten; dabei kšnnen alte Fotos, Ansichtskarten oder Karteikarten zweitverwertet werden. Das Ende einer Kerbe wird mit einer Lochzange durchgesto§en. Dann kann sehr einfach bis zum Ende mit der Scheren oder einem Japanschneider geschnitten werden. Die Breite der Kerben hŠngt vom verwendeten Material ab. Ich habe mit ca. 1 mm gearbeitet. Eine kerbenbreite ist zwingend, wenn man nur mit einem Schnitt arbeitet, wellt sich das Material.

Der Zusammenbau braucht keinen Klebestoff; die Modelle sind im Prinzip reversibel. Erfahrungen im Unterricht zeigen, dass die Technik leicht verstŠndlich ist.

Literatur

[Walser 2009]             Walser, Hans: Steckmodelle. MU Der Mathematikunterricht. Polyeder im Mathematikunterricht. Jahrgang 55. Heft 1. Februar 2009. Friedrich Verlag, Seelze. S. 38-47


Anhang

SphŠrisches Dreieck mit Seiten a, b, c.

Kugel mit Meridianen und Breitenkreisen

Im folgenden Schnittmuster in Originalgrš§e fŸr eine Kugel mit dem Radius ca. 7cm. Diese Grš§e ist geeignet fŸr die Verwendung von DIN A6 Karteikarten oder alten Fotos im selben Format.

Meridian Typ 1

Meridian Typ 2

Meridian Typ 3

Meridian Typ 4

Meridian Typ 5

Meridian Typ 6

€quator

Breitenkreis fŸr ± 30¡

Breitenkreis fŸr ± 60¡