Hans Walser, [20240712a]

Kugeldurchgang

Idee und Anregung: Hans-Jürgen Elschenbroich, Korschenbroich

1 Worum es geht

Spiel mit Dimensionen

2 Der Kugeldurchgang

Die Einheitskugel fährt mit konstanter Geschwindigkeit 1 durch die Ebene (Abb. 1).

Abb. 1: Kugel und Ebene

Die Zeitmessung ist so normiert, dass sich zum Zeitpunkt t = 0 der Kugelmittelpunkt in der Ebene befindet. Zum Zeitpunkt t = –1 findet die erste Berührung der Kugel mit der Ebene statt. Zum Zeitpunkt t = 1 verlässt die Kugel die Ebene.

Die Schnittkurve der Kugel mit der Ebene ist ein Kreis variabler Größe (Abb. 2).

Abb. 2: Schnittkreis

Ist die Kugel unsichtbar, sehen wir nur noch den Schnittkreis (Abb. 3). So erlebt eine Person in Flatland (blaue Ebene) den Durchgang der Kugel.

Abb. 3: Unsichtbare Kugel

Die Abbildung 4 zeigt den pulsierenden Schnittkreis ohne Verzerrung. Ganz am Anfang wächst der Kreisradius sehr rasch, explosionsartig wie beim Urknall. Bei der größten Ausdehnung ist er stationär. Am Schluss haben wir einen Kollaps.

Abb. 4: Vom Urknall zum Kollaps

Die Abbildung 5 zeigt die Wachstumsgeschwindigkeit des Kreisradius. Zu Beginn (t = –1) wächst der Kreisradius unendlich rasch (Explosion, Urknall), bei t = 0 haben wir die Wachstumsgeschwindigkeit null, also eine stationäre Stelle des Wachstums des Kreisradius. Am Ende (t = 1) geht der Kreisradius unendlich rasch gegen null (Kollaps).

Abb. 5: Wachstumsgeschwindigkeit

In die gegebenen Daten kann die Funktion

Wachstumsgeschwindigkeit(t) = –t/√(–t² + 1)

eingepasst werden.

3 Kegeldurchgang

Wir ersetzen die Kugel durch einen Doppelkegel (Abb. 6).

Abb. 6: Kegel

Der Schnittkreis nimmt nun gleichmäßig zu und dann wieder gleichmäßig ab (Abb. 7, Abb. 8).

Abb. 7: Schnittkreis

Abb. 8: Unsichtbarer Kegel

Wir haben ein gleichmäßiges Wachstum des Kreisradius (Abb. 9).

Abb. 9: Gleichmäßiges Wachstum

Die Wachstumsgeschwindigkeit ist zunächst konstant positiv, nach dem Zeitpunkt t = 0 konstant negativ (Abb. 10).

Abb. 10: Konstante Wachstumsgeschwindigkeit

In die gegebenen Daten passt die Funktion:

Wachstumsgeschwindigkeit(t) = – signum(t)

4 Profilkurven

Eine Person in Flatland kann nun wie folgt schließen: Der Körper aus der 3d-Welt ist ein Rotationskörper mit der Rotationsachse normal zu Flatland. Die Profilkurve (Meridiankurve) ergibt sich durch Integration der Wachstumsgeschwindigkeiten (Abb. 5 und Abb. 10). Vergessen der Integrationskonstante ergibt einen halben Punkt Abzug (Lehrer Lämpel).

Aus dem Beispiel der Abbildung 5 (Wachstumsgeschwindigkeit(t) = –t/√(–t² + 1)) ergibt sich:

r(t) = √(1 – t²) + C

Wegen r(–1) = 0 ist C = 0. Wir erhalten die Profilkurve der Abbildung 11. Es ist ein Halbkreis (Meridian).

Abb. 11: Profilkurve für Kugel

Aus dem Beispiel der Abbildung 10 (Wachstumsgeschwindigkeit(t) = – signum(t)) ergibt sich:

r(t) = 1 – |t| + C

Wegen r(–1) = 0 ist C = 0. Wir erhalten die Profilkurve der Abbildung 12.

Abb. 12: Profilkurve für Doppelkegel

5 Kritik

5.1 Fehlende Eindeutigkeit

Aus dem Durchlauf der Einheitskugel mit konstanter Geschwindigkeit 1 durch die Ebene ergibt sich eindeutig:

Wachstumsgeschwindigkeit(t) = –t/√(–t² + 1)

Hingegen ist die Umkehrung nicht eindeutig. Es gibt neben der Kugel noch andere Körper mit denselben Schnittkreisen. Dazu muss allerdings die Durchlaufgeschwindigkeit entsprechend angepasst werden. Man beachte den Unterschied zwischen Durchlaufgeschwindigkeit (des Körpers durch die Ebene) und Wachstumsgeschwindigkeit (des Radius des Schnittkreises).

Die Abbildung 13 zeigt die Kugel und zusätzlich ein Rotationsellipsoid, welche simultan dieselben Schnittkreise mit der Ebene generieren. Eine Person in Flatland kann die beiden Körper nicht unterscheiden.

Abb. 13: Kugel und Ellipsoid

Die Abbildung 14 zeigt das Analoge für den Doppelkegel.

Abb. 14: Zwei Doppelkegel

Noch spannender wird es bei variablen Durchlaufgeschwindigkeiten. Zunächst zeigt die Abbildung 15 einen Doppelkegel mit variabler Durchlaufgeschwindigkeit.

Abb. 15: Variable Durchlaufgeschwindigkeit

In der Abbildung 16 läuft gleichzeitig unsere Kugel mit gemütlicher konstanter Geschwindigkeit durch. Die beiden Schnittkreise sind identisch. Eine Person in Flatland kann die beiden Körper nicht unterscheiden.

Abb. 16: Kugel und Kegel

5.2 Die Zeitachse

Der grüne Körper läuft schneller durch. Eine Person in Flatland kann die konstante Geschwindigkeit 1 des roten Körpers und die größere Geschwindigkeit des grünen Körpers nicht verifizieren. Das liegt daran, dass die Skalierung der Zeitachse nicht erkennbar ist. Wer die Achsen nicht anschreibt, erhält einen halben Punkt Abzug (Lehrer Lämpel).

Die Zeitachse kann für die Person in Flatland sichtbar gemacht werden (Abb. 17).

Abb. 17: Am Puls der Zeit

5.3 Kein zweidimensionales Sehen

Die Wandtafel und der Beamer-Screen im Schulzimmer in Flatland sind eindimensional. Eine Person in Flatland sieht die zweidimensionalen Abbildungen nicht aus der dritten Dimension (wie die Bewohner einer dreidimensionalen Welt).

Die Abbildung 18 zeigt die rote Kugel, das grüne Rotationsellipsoid und den blauen Doppelkegel aus der Sicht einer Person in Flatland.

Abb. 18: Kugel, Ellipsoid oder blauer Doppelkegel

Die Abbildung 19 zeigt entsprechend den roten und den grünen Doppelkegel.

Abb. 19: Doppelkegel

Und die Uhr tickt so (Abb. 20):

Abb. 20: Zeitmessung

Literatur

Abbott, Edwin A. (1884): Flatland. A Romance of Many Dimensions. London: Seeley.