Hans Walser, [20241125]

Längensatz

Hartmut Müller-Sommer, Vechta

1 Worum es geht

Verschwindende Summe von Längen.

Der Längensatz kann zu einem Flächensatz ausgebaut werden.

2 Konstruktion

In einem regelmäßigen Vieleck fällen wir von einem beliebigen Punkt aus die Lote auf die Seiten (Abb. 1 für ein regelmäßiges Fünfeck).

Abb. 1: Lote auf die Seiten

Wir verbinden die Lotfußpunkte mit den Seitenmitten (Abb. 2).

Abb. 2: Abschnitte zu den Seitenmitten

Wenn es vom Lotfußpunkt aus im positiven Drehsinn zur Seitenmitte geht, zeichnen wir den Abschnitt in blau, andernfalls in rot.

3 Längensatz

Die Summe der Längen der blauen Strecken ist gleich der Summe der Längen der roten Strecken.

4 Beweis

Der Beweis geht rechnerisch und basiert auf der Formel:

5 Flächensatz

Durch Einzeichnen von rechtwinkligen Dreiecken mit einer Ecke im Mittelpunkt des regelmäßigen Vieleckes erhalten wir einen Flächensatz (Abb. 3). Die Flächensumme der blauen Dreiecke ist gleich der Flächensumme der roten Dreiecke.

Abb. 3: Flächensatz

6 Weitere Beispiele

Abb. 4: Im gleichseitigen Dreieck

Im Quadrat ist der Sachverhalt aus Symmetriegründen trivial (Abb. 5). Je ein rotes und ein dazu kongruentes blaues rechtwinkliges Dreieck liegen symmetrisch bezüglich der Mittelsenkrechten einer Quadratseite.

Abb. 5: Im Quadrat

Auch im regelmäßigen Sechseck ist der Sachverhalt aus Symmetriegründen trivial (Abb. 6). Je ein rotes und ein dazu kongruentes blaues rechtwinkliges Dreieck liegen symmetrisch bezüglich einer Mittelpunktsdiagonalen des Sechseckes.

Abb. 6: Im Sechseck

Auch im regelmäßigen Zwölfeck ist der Sachverhalt aus Symmetriegründen trivial (Abb. 7). Je ein rotes und ein dazu kongruentes blaues rechtwinkliges Dreieck liegen symmetrisch bezüglich der Mittelsenkrechten einer Zwölfeckseite.

Abb. 7: Im Zwölfeck

Es fällt auf, dass die beiden Farben immer schön gruppiert sind. Die Trennlinie ist die Gerade durch den Mittelpunkt des regelmäßigen Vieleckes und den beliebig gewählten Punkt, von dem aus die Lote gezeichnet werden.

7 Ein weiterer Längensatz

Aus dem Längensatz (Abschnitt 3) gewinnen wir unmittelbar einen weiteren Längensatz.

Wir verbinden die Lotfußpunkte mit den Ecken des regelmäßigen Vieleckes und färben im Wechsel blau und rot (Abb. 8).

Abb. 8: rot = blau

Die Längensumme der roten Strecken ist gleich der Längensumme der blauen Strecken (nämlich je der halbe Umfang des regelmäßigen Vieleckes).

Analog gibt es einen weiteren Flächensatz (Abb. 9).

Abb. 9: rot = blau

8 Weitere Beispiele

Abb. 10: Im gleichseitigen Dreieck

Im Quadrat ist der Flächensatz aus Symmetriegründen trivial (Abb. 11).

Abb. 11: Im Quadrat

Auch im Sechseck ist der Flächensatz aus Symmetriegründen trivial (Abb. 12). Zu jedem roten Dreieck gibt es ein spiegelbildliches blaues Dreieck.

Abb. 12: Im regelmäßigen Sechseck

Entsprechendes gilt für alle regelmäßigen Vielecke mit gerader Eckenzahl.

Die Abbildung 13 zeigt die Situation im Siebeneck.

Abb. 13: Im regelmäßigen Siebeneck