Hans Walser, [20250908]

Längenverhältnis

Idee und Anregung: Hartmut Müller-Sommer, Vechta

1 Worum es geht

In einem Dreieck zeichnen wir die drei Höhen mit dem Höhenschnittpunkt sowie den Umkreismittelpunkt als Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Seiten (Abb. 1).

Abb. 1: Ausgangslage

Dann gilt folgendes: gleichfarbige Strecken (Abb. 2) haben das Längenverhältnis 2:1.

Abb. 2: Längenverhältnis

2 Beweis

Wir zeichnen den Neunpunktekreis von Feuerbach (Abb. 3). Dieser halbiert die langen farbigen Strecken (die Schnittpunkte sind die Punkte Nummer 7, 8 und 9 des Neunpunktekreises).

Abb. 3: Feuerbach-Neunpunktekreis

Weiter sind die beiden roten Dreiecke (Abb. 4) kongruent. Sie lassen sich durch eine Drehung um den Mittelpunkt des Feuerbach-Kreises um 180° aufeinander abbilden.

Abb. 4: Kongruente Dreiecke

Damit haben die beiden roten Strecken das Längenverhältnis 2:1. Für die beiden blauen Strecken und die beiden grünen Strecken analog.