Hans Walser, [20101114a]

Der Satz von Lehmann-Rosenbaum

Anregung: I. L., B.

1        Worum geht es?

Zu gegebenem  unterteilen wir die Seiten eines Dreiecks  mit den Teilpunkten  und :

 

 

Weiter sei  der Schnittpunkt der beiden Ecktransversalen  und . Die Abbildung zeigt die Situation fźr . Schlie§lich sei  der Schwerpunkt des Dreiecks .

Situation

Dann gilt der Satz von Lehmann-Rosenbaum: Die zentrische Streckung mit dem Zentrum S und dem Faktor  bildet das Dreieck  auf das Dreieck  ab:

 

 

2        Beweis

Wir beweisen den Satz zunŠchst fźr rationales .

2.1      Rationales TeilverhŠltnis

Den Beweis verdanke ich Felix, MSG-Schźler der Klasse 12, Berlin.

Es sei  mit ,  und . Wir rastern das Dreieck  in kanonischer Weise  kongruente Teildreiecke. Die Abbildungen zeigen die FŠlle  und der Reihe nach , also .

 

 

 

 

 

Im Sinne eines proof without words sehen wir fźr den Streckfaktor f:

 

 

 

Schlie§lich ist:

 

 

 

2.2      Reelles TeilverhŠltnis

Fźr  arbeiten wir mit dem dedekindschen Schnitt.

3        ErgŠnzungen

3.1      Weitere TeilverhŠltnisse

Die folgenden TeilverhŠltnisse lassen sich ebenfalls aus der Rasterung ablesen:

Der Punkt  teilt die beiden Ecktransversalen  und  so dass:

 

 

Der Punkt  teilt die Schwerlinie  so dass:

 

 

3.2      Ecktransversalen au§erhalb des Dreieckes

Der Satz gilt fźr beliebige . Interessant sind die SonderfŠlle der Funktion:

 

 

 

Fźr  hat die Funktion einen Pol. Die beiden Ecktransversalen  und  werden parallel. Fźr  ist ; das Dreieck  hat das Ausgangsdreieck  als Seitenmittendreieck.

3.3      KomplementaritŠt

Fźr  und  erhalten wir Ecktransversalen, die sich decken. Die Abbildung zeigt die Situation fźr  und .

KomplementaritŠt

Wegen

 

 

und

 

 

folgt:

 

 

Den Streckfaktor kšnnen wir vereinfachen: