Hans Walser, [20200210]

Lemoine-Gerade

1   Worum geht es?

Einem beliebigen Dreieck setzen wir regelmŠ§ige Fźnfecke an (Abb. 1) und generieren damit verschiedene Schnittpunkte. Diese liegen meist auf der Lemoine-Geraden des Dreiecks, gelegentlich auch auf der Kiepert-Hyperbel, und selten auf keiner der beiden Kurven.

Abb. 1: Ausgangslage

Die Lemoine-Gerade verlŠuft durch den Lemoine-Punkt und den Umkreismittelpunkt des Dreieckes. Der Lemoine-Punkt des Dreiecks hat von den Dreiecksseiten AbstŠnde im VerhŠltnis eben dieser Dreiecksseiten.

Die Kiebert-Hyperbel verlŠuft durch den Schwerpunkt, den Hšhenschnittpunkt und die drei Eckpunkte des Dreiecks. Sie ist gleichseitig. Die lŠngenmŠ§ig mittlere Dreiecksseite wird von einem Hyperbelast als Sehne eingeschlossen.

Die Lemoine-Gerade und die Kiepert-Hyperbel haben in unserem Beispiel keinen Punkt gemeinsam.

2   Symmetrieachsen

Wir arbeiten mit den Symmetrieachsen der regelmŠ§igen Fźnfecke.

Abb. 2: Symmetrieachsen: Umkreismittelpunkt

Abb. 3: Symmetrieachsen

Abb. 4: Symmetrieachsen. Schnittpunkt auf Kiepert-Hyperbel

Abb. 5: Symmetrieachsen

Abb. 6: Symmetrieachsen

Abb.7: Symmetrieachsen. Schnittpunkt auf Kiepert-Hyperbel. Vgl. Abb. 4

3   Diagonalen

Abb. 8: Diagonalen. Lemoine-Punkt

Abb. 9: Diagonalen

Abb. 10: Diagonalen

Abb. 11: Diagonalen

Abb. 12: Diagonalen

4   Seiten

Abb. 13: DŠcher

Abb. 14: DŠcher

Abb. 15: Seiten

Abb. 16: Seiten

5   Symmetrieachsen und Diagonalen

Abb. 17: Schnittpunkt auf der Kiepert-Hyperbel

Abb. 18: Schnittpunkt weder auf Lemoine-Geraden noch auf Kiepert-Hyperbel

6   Au§en. Goldener Schnitt

Abb. 19: Parallelogramme ansetzen. Kollineare Punkte. Goldener Schnitt

Die Diagonale im Parallelogramm und die Fortsetzung bis zur Fźnfeckecke stehen im VerhŠltnis des Goldenen Schnittes (Walser 2013).

 

Literatur

Walser, Hans (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing źber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.

 

Websites

Hans Walser: Schnittpunkte 801-900

http://www.walser-h-m.ch/hans/Schnittpunkte/Schnittpunkte_801-900.htm

Hans Walser: Lemoine-Gerade

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/L/Lemoine-Gerade/Lemoine-Gerade.htm