Hans Walser, [20240408]

Lineare Fibonacci-Folge

1 Worum es geht

Die (verallgemeinerte) Fibonacci-Folge zeigt im Prinzip ein exponentielles Wachstum. Es gibt aber Beispiele mit linearem Wachstum.

2 Die Rekursion

Wir arbeiten mit der verallgemeinerten Fibonacci-Rekursion:

f[n+1] := 2*f[n] - f[n-1]:

3 Beispiele

3.1 Natürliche Zahlen

Mit den Startwerten

f[0] := 0: f[1] := 1:

erhalten wir die Folge der Tabelle 1.

n	f[n]
0	0
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
8	8
9	9
10	10
11	11
12	12

Tab. 1: Natürliche Zahlen

Dies sind die natürlichen Zahlen (Abb. 1).

Abb. 1: Natürliche Zahlen

3.2 Vielfache

Mit den Startwerten

f[0] := 0: f[1] := b:

erhalten wir die Folge der Tabelle 2.

n	f[n]
0	0
1	b
2	2*b
3	3*b
4	4*b
5	5*b
6	6*b
7	7*b
8	8*b
9	9*b
10	10*b
11	11*b
12	12*b

Tab. 2: Vielfache

3.3 Allgemein

Mit den Startwerten

f[0] := a: f[1] := b:

erhalten wir die Folge der Tabelle 3.

n	f[n]
0	a
1	b
2	2*b-a
3	3*b-2*a
4	4*b-3*a
5	5*b-4*a
6	6*b-5*a
7	7*b-6*a
8	8*b-7*a
9	9*b-8*a
10	10*b-9*a
11	11*b-10*a
12	12*b-11*a

Tab. 3: Allgemein

Dies kann in der Form

f[n] := a + n*(b-a)

geschrieben werden. Also eine lineare Funktion.

3.4 Konstante Folge

Mit den Startwerten

f[0] := a: f[1] := a:

erhalten wir die konstante Folge f[n] := a (Tab. 4). .

n	f[n]
0	a
1	a
2	a
3	a
4	a
5	a
6	a
7	a
8	a
9	a
10	a
11	a
12	a

Tag. 4: Konstante Folge