Hans Walser, [20171028]
Logarithmen und Fibonacci
Anregung: Jo Niemeyer, Berlin
Da die Fibonacci-Zahlen nŠherungsweise exponentiell wachsen, wachsen die Logarithmen davon nŠherungsweise linear. Es werden numerische und grafische Beispiele dazu gegeben.
Mit bezeichnen wir den Goldenen Schnitt (Walser 2013).
Unter dem Goldenen Logarithmus verstehen wir den Logarithmus zur Basis . Er wird wie folgt berechnet:
(1)
Der natźrliche Logarithmus ln( ) in der Formel (1) kann durch irgend einen anderen Logarithmus ersetzt werden.
Mit den Startwerten 1 und 3 und der źblichen Fibonacci-Rekursion erhalten wir die Luccas-Zahlen:
1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, ... (2)
Die Tabelle 1 gibt die Lucas-Zahlen und den Logarithmus zur Goldenen Basis davon.
n |
Ln |
|
1 |
1 |
0. |
2 |
3 |
2.283011831 |
3 |
4 |
2.880840183 |
4 |
7 |
4.043770434 |
5 |
11 |
4.983034810 |
6 |
18 |
6.006443753 |
7 |
29 |
6.997533430 |
8 |
47 |
8.000941383 |
9 |
76 |
8.999640321 |
10 |
123 |
10.00013738 |
11 |
199 |
10.99994754 |
12 |
322 |
12.00002005 |
13 |
521 |
12.99999236 |
14 |
843 |
14.00000294 |
15 |
1364 |
14.99999889 |
16 |
2207 |
16.00000044 |
17 |
3571 |
16.99999985 |
18 |
5778 |
18.00000008 |
19 |
9349 |
18.99999999 |
20 |
15127 |
20.00000003 |
Tab. 1: Lucas-Zahlen und Goldener Logarithmus
Wir sehen, dass sich die Goldenen Logarithmen den natźrlichen Zahlen annŠhern. Hintergrund: Die Lucas-Zahlen kšnnen durch die Formel von Binet generiert werden:
(3)
Der zweite Summand geht gegen null.
Die Abbildung 1 gibt die ersten zehn Treppenstufen fźr .
Abb. 1: Treppenstufen
Die Treppe wŠchst zuerst unregelmŠ§ig, und dann immer regelmŠ§iger.
Bei den Fibonacci-Zahlen mźssen wir einen Korrekturterm addieren.
n |
Fn |
|
|
1 |
1 |
0. |
1.672275940 |
2 |
1 |
0. |
1.672275940 |
3 |
2 |
1.440420092 |
3.112696032 |
4 |
3 |
2.283011831 |
3.955287771 |
5 |
5 |
3.344551878 |
5.016827818 |
6 |
8 |
4.321260276 |
5.993536216 |
7 |
13 |
5.330187717 |
7.002463657 |
8 |
21 |
6.326782265 |
7.999058205 |
9 |
34 |
7.328083693 |
9.000359633 |
10 |
55 |
8.327586688 |
9.999862628 |
11 |
89 |
9.327776543 |
11.00005248 |
12 |
144 |
10.32770403 |
11.99997997 |
13 |
233 |
11.32773173 |
13.00000767 |
14 |
377 |
12.32772115 |
13.99999709 |
15 |
610 |
13.32772519 |
15.00000113 |
16 |
987 |
14.32772365 |
15.99999959 |
17 |
1597 |
15.32772424 |
17.00000018 |
18 |
2584 |
16.32772401 |
17.99999995 |
19 |
4181 |
17.32772410 |
19.00000004 |
20 |
6765 |
18.32772407 |
20.00000001 |
Tab. 2: Fibonacci-Zahlen
Hintergrund: In der Binet-Formel
(4)
mźssen wir den Faktor austricksen.
Allerdings wźrde die Treppe auch ohne Korrekturterm immer gleichmŠ§iger wachsen. Wir kŠmen aber nicht gegen die natźrlichen Zahlen.
Die Abbildung 2 gibt die ersten 10 Treppenstufen fźr .
Abb. 2: Treppenstufen
Literatur
Walser, Hans (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing źber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig. ISBN 978-3-937219-85-1.