Hans Walser, [20200716]

Logarithmische Kantenmittenspirale

Anregung: M. E., B.

1     Worum geht es

Gesucht ist eine eckige logarithmische Spirale aus StreckenzŸgen, welche sich selber in- und umbeschrieben ist und sich in den Kantenmitten berŸhrt.

2     Beispiel

Abb. 1: Beispiel

Die Abbildung 1 zeigt eine eckige logarithmische Spirale. Die StreckenlŠngen nehmen schrittweise um denselben Faktor q = 0.9691929055 ab. Die RichtungsŠnderung (Au§enwinkel) ist an jeder Ecke gleich, nŠmlich 65.35002089¡ im positiven Drehsinn. Der Endpunkt der sechsten Strecke ist der Mittelpunkt der ersten Strecke. Auch alle nachfolgenden Eckpunkte sind Mittelpunkte von Spiralen-Strecken.

Eine eckige logarithmische Spirale ist bis auf €hnlichkeit durch den konstanten LŠngenverŠnderungsfaktor q und die konstante RichtungsŠnderung bestimmt.

Wir fragen nach diesen beiden Bestimmungsdaten unter der zusŠtzlichen Bedingung, dass der Endpunkt der n-ten Strecke der Mittelpunkt der ersten Strecke ist.

3     Die Gleichung

Wir arbeiten exemplarisch fŸr n = 6 in der Gau§schen Ebene der komplexen Zahlen (Abb. 2). Der SchlŸssel zu unserer Aufgabe ist die komplexe Zahl z. Ihr Betrag ist der LŠngen-VerŠnderungsfaktor q, ihr Argument die RichtungsŠnderung.

Abb. 2: †berlegungsfigur

Die Bedingung, dass der Endpunkt der sechsten Strecke auf den Mittelpunkt der ersten Strecke zu liegen kommen muss, hei§t:

 

                                                                                                               (1)

 

 

 

Im allgemeinen Fall erhalten wir die Gleichung:

 

                                                                                                               (2)

 

 

 

4     LšsungsŸbersicht

Die Gleichung (2) hat nach dem Fundamentalsatz der Algebra in der komplexen Ebene genau n Lšsungen.

Eine triviale Lšsung ist z = 1. Diese Lšsung ist fŸr uns nicht relevant.

Wir machen eine ParitŠtsunterscheidung bezŸglich n.

4.1    n gerade

Die Tabelle 1 zeigt exemplarisch die Lšsungen fŸr n = 6. Die Lšsungen sind mit dem Index k nummeriert.

 

k

zk

|zk|

arg(zk)

1

1

1

2

0.4042249299 + 0.8808729160i

0.9691929055

65.35002089¡

3

–0.5440186493 + 0.6655179335i

0.8595757155

129.2638176¡

4

–0.7204125613

0.7204125613

180¡

5

–0.5440186493 – 0.6655179335i

0.8595757155

-–129.2638176¡

6

0.4042249299 – 0.8808729160i

0.9691929055

–65.35002089¡

Tab. 1: Lšsungen fŸr n = 6

Die Abbildung 3 zeigt die Verteilung dieser Lšsungen in der Gau§schen Ebene der komplexen Zahlen. Der blaue Kreis ist der Einheitskreis.

Abb. 3: Lšsungen fŸr n = 6

Neben der trivialen Lšsung z1 = 1 haben wir noch eine zweite reelle Lšsung. Die Ÿbrigen Lšsungen sind paarweise konjugiert komplex und liegen daher spiegelbildlich bezŸglich der reellen Achse.

4.2    n ungerade

Die Tabelle 2 zeigt exemplarisch die Lšsungen fŸr n = 7.

 

k

zk

|zk|

arg(zk)

1

1

1

2

0.5581619009 + 0.8073355575i

0.9814965155

55.34145396¡

3

–0.3174374594 + 0.8613972540i

0.9180260181

110.2295783¡

4

–0.7407244414 + 0.2592065099i

0.7847679357

160.7131957¡

5

–0.7407244414 – 0.2592065099i

0.7847679357

–160.7131957¡

6

–0.3174374594 – 0.8613972540i

0.9180260181

–110.2295783¡

7

0.5581619009 – 0.8073355575i

0.9814965155

–55.34145396¡

Tab. 2: Lšsungen fŸr n = 7

Die Abbildung 4 zeigt die Verteilung dieser Lšsungen.

Abb. 4: Lšsungen fŸr n = 7

Die einzige reelle Lšsung ist z1 = 1. Die Ÿbrigen Lšsungen sind paarweise konjugiert komplex.

4.3    Hintergrund

Die Gleichung (2) ist eine leicht gestšrte Kreisteilungsgleichung. Die (ungestšrte) Kreisteilungsgleichung lautet:

 

                                                                                                                             (3)

 

 

 

Die n Lšsungen der Kreisteilungsgleichung bilden ein regelmŠ§iges n-Eck auf dem Einheitskreis.

5     Bildergalerie

5.1    n = 6

Die Lšsungen beziehen sich auf die Tabelle 1.

Die triviale Lšsung z1 = 1 gibt nichts.

Aus der Lšsung z2 = 0.4042249299 + 0.8808729160i erhalten wir die Spirale der Abbildung 5.2 (entspricht der Abbildung 1).

Abb. 5.2: Spirale

Aus der Lšsung z3 = –0.5440186493 + 0.6655179335i erhalten wir die Ÿberschlagene Spirale der Abbildung 5.3.

Abb. 5.3: †berschlagene Spirale

Die Leserin oder der Leser kann mit dem Finger nachprŸfen, dass tatsŠchlich der Endpunkt der sechsten Strecke im Mittelpunkt der ersten Strecke liegt (Abb. 5.3a).

Abb. 5.3a: Endpunkte und Mittelpunkte

Aus der reellen Lšsung z4 = –0.7204125613 erhalten wir ein Hin-und-her auf der reellen Achse (Abb. 5.4).

Abb. 5.4: Hin-und-her

Aus der Lšsung z5 = –0.5440186493 ­– 0.6655179335i erhalten wir die Ÿberschlagene Spirale der Abbildung 5.5. Sie ist spiegelbildlich zur Spirale der Abbildung 5.3, da die zugehšrigen Lšsungen konjugiert komplex sind.

Abb. 5.5: †berschlage Spirale

Aus der Lšsung z6 = 0.4042249299 – 0.8808729160i erhalten wir die Spirale der Abbildung 5.6. Sie ist spiegelbildlich zur Spirale der Abbildung 5.2.

Abb.5.6: Spirale

5.2    n = 7

Die Lšsungen beziehen sich auf die Tabelle 2.

Die triviale Lšsung z1 = 1 gibt nichts.

Aus der Lšsung z2 = 0.5581619009 + 0.8073355575i erhalten wir die Spirale der Abbildung 6.2.

Abb. 6.2: Spirale

Aus der Lšsung z3 = –0.3174374594 + 0.8613972540i erhalten wir die Ÿberschlagene Spirale der Abbildung 6.3.

Abb. 6.3: †berschlage Spirale

Aus der Lšsung z4 = –0.7407244414 + 0.2592065099i erhalten wir die Ÿberschlagene Spirale der Abbildung 6.4.

Abb. 6.4: †berschlagene Spirale

Aus den weiteren, konjugiert komplexen Lšsungen ergeben sich entsprechend spiegelbildliche Spiralen.

5.3    n = 3

Der Fall n = 3 fŸhrt zu einer bekannten Figur. ZunŠchst die numerischen Lšsungen (Tab. 3).

 

k

zk

|zk|

arg(zk)

1

1

1

2

–0.5000000000 + 0.5000000000i

0.7071067810

135¡

3

–0.5000000000 – 0.5000000000i

0.7071067810

–135¡

Tab. 3: Lšsungen fŸr n = 3

Das sind natŸrlich exakt darstellbare Werte (Tab. 4).

 

k

zk

|zk|

arg(zk)

1

1

1

2

135¡

3

–135¡

Tab. 4: Exakte Werte fŸr n = 3

Die Abbildung 7 zeigt die Verteilung dieser Lšsungen.

Abb. 7: Lšsungen fŸr n = 3

Aus der Lšsung  erhalten wir die Spirale der Abbildung 8.2.

Abb. 8.2: Rechtwinklig gleichschenklige Dreiecke

Die Spirale ergibt sich durch fortlaufendes Halbieren eines rechtwinklig gleichschenkligen Dreiecks.

6     Ausblick

Wir kšnnen die Mittelpunkte ersetzen durch andere Teilpunkte. Wir kšnnen zum Beispiel verlangen, dass der Endpunkt der n-ten Strecke der erste Drittelpunkt der ersten Strecke wird. Dazu mŸssen wir die Gleichung (2) abŠndern in:

 

                                                                                                                 (4)

 

 

 

Die Abbildung 9 zeigt ein Beispiel fŸr n = 6. Wir glauben dabei noch zusŠtzliche Spiralen zu erkennen.

Abb. 9: Drittelpunkte

FŸr ein beliebiges TeilverhŠltnis t wird aus (4) die Bedingung:

 

                                                                                                           (5)

 

 

 

FŸr t = 0 ergibt sich aus (5) das regelmŠ§ige n-Eck, fŸr t = 1 das regelmŠ§ige n–1-Eck.

Durch Variation von t zwischen 0 und 1 kšnnen wir also ein n-Eck in ein n–1-Eck verwandeln.

Die folgenden Animationen illustrieren den Sachverhalt.

 

Animation1.gif

Animation 1: Dreieck und Viereck

 

Animation2.gif

Animation 2: Viereck und FŸnfeck

 

Animation3.gif

Animation 3: FŸnfeck und Sechseck

Websites

Hans Walser: Logarithmische Kantenmittenspiralen

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/L/Log_Kantenmittenspiralen/Log_Kantenmittenspiralen.htm

Hans Walser: Spiralen im regelmŠ§igen Vieleck

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Spiralen_reg_Vieleck/Spiralen_reg_Vieleck.htm

Hans Walser: Kantenmittenspirale

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kantenmittenspirale/Kantenmittenspirale.htm