1 Worum geht es?

Schnittpunkt von Loten auf archimedische Spiralen

2 Konstruktion

Wir verdrehen eine archimedische Spirale (Abb. 1a) mit der Polardarstellung

(1)

um den Ursprung um beliebige Winkel (Abb. 1b).

Abb. 1: Archimedische Spiralen

Wir schneiden die Spiralenschar mit einem vom Ursprung ausgehenden Strahl (Abb. 2a).

Abb. 2: Gemeinsamer Schnittpunkt

In den Schnittpunkten zeichnen wir die Lote (Normalen) der archimedischen Spiralen. Diese Lote schneiden sich ein einem gemeinsamen Punkt (Abb. 2b).

3 Beweis

Eine um den Winkel verdrehte archimedische Spirale hat in kartesischen Koordinaten die Darstellung:

(2)

Daraus ergibt sich der Tangentialvektor:

(3)

Für den Normalvektor erhalten wir:

(4)

Die Normale hat also die Gleichung:

(5)

Für den Strahl setzen wir:

(6)

Im Schnittpunkt mit der verdrehten archimedischen Spirale ist:

(7)

Wir setzen (7) und in (5) ein:

(8)

Dies beschreibt einen Punkt auf der Normalen der um verdrehten archimedischen Spirale. Der Punkt ist aber unabhängig von und daher gemeinsamer Schnittpunkt aller Normalen.

Aus (8) ergibt sich zusätzlich, dass dieser Schnittpunkt vom Ursprung den Abstand hat und dass die Strecke vom Ursprung zu diesem Schnittpunkt rechtwinklig zum vom Ursprung ausgehenden Strahl ist.

Weblinks

Hans Walser: Lotschnittpunkt

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/L/Lotschnittpunkt/Lotschnittpunkt.htm