Hans Walser, [20180427]

Magisches Fraktal

1     Worum geht es

Geeignete FŠrbungen von magischen Quadraten fŸhren zu einem Fraktal.

2     Magische Quadrate

Die Abbildung 1 zeigt ein klassisches magisches Quadrat in zwei komplementŠren FŠrbungen. In der Abbildung 1a sind die ungeraden Zahlen blau hinterlegt.

Die Zahlen des magischen Quadrates laufen von 0 bis 8. Die Zeilen-, Spalten- und Diagonalensummen sind 12.

Abb. 1: Magisches Quadrat

Die Abbildung 2 zeigt ein (lŠngenmŠ§ig) dreimal so gro§es magisches Quadrat. Seine Zahlen laufen von 0 bis 80. Die ungeraden Zahlen sind blau unterlegt.

Abb. 2: Gro§es magisches Quadrat

Wir stellen Šhnlich einem Sudoku eine Binnenstruktur fest. So finden wir am linken Rand in der Mitte das magische Quadrat der Abbildung 1a.

Links oben finden wir ein magisches Quadrat, dessen Zahlen von 45 bis 53 laufen. Die FŠrbung ist zwar auch so, dass die ungeraden Zahlen blau unterlegt sind, aber die Anordnung der geraden und ungeraden Zahlen ist komplementŠr zum darunterliegenden magischen Quadrat. Daher ist auch die FŠrbung komplementŠr angeordnet und entspricht der FŠrbung der Abbildung 1b.

In jedem 3×3-Teilquadrat haben wir ein magisches Quadrat. Die kleinste Zahl ist jeweils am linken Rand in der Mitte. Diese Zahl ist jeweils das Neunfache der gleich positionierten Zahl im magischen Quadrat der Abbildung 1.

3     FŠrbungen

Wir verallgemeinern den FŠrbungsŸbergang von der Abbildung 1 auf die Abbildung 2.

Die Abbildung 3 zeigt nochmals die FŠrbungen der Abbildung 1.

Abb. 3: Start

Die Abbildung 4 zeigt den nŠchsten Schritt. Die FŠrbung der Abbildung 4a entspricht der FŠrbung des magischen Quadrates der Abbildung 2. Die Abbildung 4b ist komplementŠr gefŠrbt.

Abb. 4: NŠchster Schritt

Die Abbildungen 5 und 6 zeigen die beiden folgenden Schritte. Weiter hat es meine Computer aus KapazitŠtsgrŸnden nicht mehr geschafft. Wir sehen die Entwicklung des Fraktals. Am Schluss wird alles magenta.

Abb. 5

Abb. 6