Hans Walser, [20260804]
Mittellinie
1 Worum es geht
Spielerei im Dreieck mit Inkreis und Umkreis
Invarianter Punkt
Spezielle Gerade
Beweise fehlen, empirische Befunde
2 Konstruktion
Zu einem beliebigen Dreieck zeichnen wir den Inkreis und den Umkreis (Abb. 1). Deren Mittelpunkte sind rot eingezeichnet.
Abb. 1: Inkreis und Umkreis
Nun fragen wir nach der Mittellinie von Inkreis und Umkreis, also nach der Menge der Punkte, die jeweils vom Inkreis und dem Umkreis denselben Abstand haben. Diese Mittellinie ist eine Ellipse. Sie hat die Mittelpunkte von Inkreis und Umkreis als Brennpunkte und verläuft durch den Mittelpunkt des größten (sowie des kleinsten) Abstandes der beiden Kreise. Nachweis mit den üblichen Abstandseigenschaften der Ellipse.
Abb. 2: Mittellinie eine Ellipse
Die Mittellinieneigenschaft kann mit einem Kreis illustriert werden (Abb. 3 und Abb. 4). Sein Zentrum liegt auf der elliptischen Mittellinie, und er berührt den Inkreis von außen und den Umkreis von innen.
Abb. 3: Berührkreis
Abb. 4: Berührkreise
3 Ein invarianter Punkt
Die Lust des Mathematikers besteht im Auffinden von Invarianten (Heinz Hopf)
Die Gerade durch die beiden Fixpunkte schneiden wir mit der langen Achse der Ellipse (Abb. 5).
Abb. 5: Schnittpunkt auf der Achse
Dieser Schnittpunkt bleibt invariant beim Bewegen des Berührkreises (Abb. 6).
Abb. 6: Invarianter Schnittpunkt
4 Eine spezielle Gerade
Wir schneiden die beiden Berührtangenten des Berührkreises (Abb. 7).
Abb. 7: Schnittpunkt der beiden Berührtangenten
Die Bahnkurve des Schnittpunktes ist eine Orthogonale zur langen Ellipsenachse (Abb. 8). Diese Gerade ist die Potenzgerade von Inkreis und Umkreis.
Abb. 8: Bahnkurve
Mittellinie
Hans Walser: Mittellinie mal Breite
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/M/Mittellinie/Mittellinie.htm