Hans Walser, [20191027]

Möbiusband

Anregung: Voß 2009

1 Worum geht es?

Regelmäßige Vielecke und Möbiusband. Paritätsproblem.

2 Zweifarbiger Streifen

Wir kleben zwei verschiedenfarbige Streifen auf Stoß nebeneinander (Abb. 1). Der Autor hat dazu mit transparentem Klebeband gearbeitet.

Abb. 1: Zweifarbiger Streifen

Wir haben auf der Vorder- und der Rückseite je die beiden Farben rot und grün.

3 Falten auf der Basis des gleichseitigen Dreieckes

Wir falten den Streifen der Abbildung 1 um 60° nach oben (Abb. 2.1).

Abb. 2.1: 60° nach oben falten

Wir haben jetzt eine doppelte Überlagerung in Form eines gleichseitigen Dreieckes.

Anschließend falten wir nach unten gemäß Abbildung 2.2. Die neue Faltkante ist bündig zur Oberkante des Streifens. Das Dreieck ist jetzt bereits dreifach überlagert.

Abb. 2.2: Nach unten falten

Schließlich falten wir nach rechts gemäß Abbildung 2.3. Das Dreieck ist jetzt vierfach überlagert.

Abb. 2.3: Nach rechts falten

Wir haben nun von außen gesehen einen Streifen mit einem Farbwechsel. Wenn wir das linke und das rechte Ende identifizieren, das heißt den Streifen zum Zylinder aufbiegen und die Enden zusammenkleben ergibt sich ein Möbiusband.

4 Falten auf der Basis des regelmäßigen Fünfeckes

Die Abbildungsfolge 3.0 bis 3.5 zeigt das entsprechende Vorgehen auf der Basis des regelmäßigen Fünfeckes. Das freie Ende ist von Schritt zu Schritt um 144° versetzt. Zudem wird bei jedem Schritt die Farbreihenfolge (im positiven Drehsinn) vertauscht.

Es braucht einen ziemlich langen Streifen.

Abb. 3.0: Ausgangslage

Abb. 3.1

Abb. 3.2

Abb. 3.3

Abb. 3.4

Abb. 3.5: Streifen mit Farbwechsel

5 Falten auf der Basis des regelmäßigen Siebeneckes

Die Abbildungsfolge 4.0 bis 4.7 zeigt eine Möglichkeit auf der Basis des regelmäßigen Siebeneckes. Der Streifen ist bereits vorgefaltet. Die Faltlinien sind abwechslungsweise Talfalte und Bergfalte.

Abb. 4.0: Ausgangslage

Abb. 4.1: Erster Schritt

Abb. 4.2

Abb. 4.3

Abb. 4.4

Abb. 4.5

Abb. 4.6

Abb. 4.7: Endlage

Die Abbildung 5 zeigt die Endlage vergrößert. Das Loch in der Mitte ist ein regelmäßiges Siebeneck, obwohl es nicht so scheint. Wir haben eine optische Täuschung.

Abb. 5: Endlage

Die Abbildungsfolge 6.0 bis 6.1 zeigt eine zweite Lösung.

Abb. 6.0: Ausgangslage

Abb. 6.1: Erster Schritt

Abb. 6.2

Abb.6.3

Abb. 6.4

Abb. 6.5

Abb. 6.6

Abb. 6.7: Endlage

Die Abbildung 7 zeigt die Endlage vergrößert.

Abb. 7: Endlage

Beim regelmäßigen Siebeneck gibt es zwei Diagonalentypen. Kurze Diagonalen, welche eine Ecke überspringen, und lange Diagonalen, welche zwei Ecken überspringen. Die erste Lösung ist an den kurzen Diagonalen orientiert, die zweite Lösung an den langen Diagonalen.

6 Falten auf der Basis des regelmäßigen Neunecks

Es gibt drei Lösungen. Die Abbildung 8 zeigt die Endlage für die erste Lösung. Das Loch in der Mitte ist ein regelmäßiges Neuneck, auch wenn es nicht so scheint.