Hans Walser, [20191119]

Möbiuskörper

Anregung: Ueli Wittorf, Zürich

1 Worum geht es?

Verallgemeinerung des Möbiusbandes auf Körper, deren Querschnitt ein regelmäßiges Vieleck ist.

2 Erinnerung

Die Abbildung 1 zeigt ein gewöhnliches geschlossenes Band. Seine zwei Seiten sind rot und blau gefärbt. Das Band ist in die Ebene abwickelbar.

Abb.1: Band

Wenn wir eine Torsion (Verdrehung) von 180° anbringen, erhalten wir ein Möbiusband (Abb.2). Es hat nur eine Seite und nur einen Rand. Wir können nicht mehr mit zwei verschiedenen Farben färben. Das Band hat eine negative Gaußsche Krümmung (Flächenkrümmung) und ist daher nicht in die Ebene abwickelbar.

Abb. 2a: Möbiusband

Abb. 2b: Sicht von oben

Allgemein erhalten wir bei einer Torsion von einem geraden Vielfachen von 180° (also einer Torsion von einem Vielfachen von 360°) ein Band mit zwei Seiten und zwei Rändern. Wir können mit zwei Farben arbeiten. Die Abbildung 3 zeigt ein Beispiel mit einer Torsion von 6*180° = 1080°. Es ist nicht in die Ebene abwickelbar.

Abb. 3a: Torsion 6x180°

Abb. 3b: Sicht von oben

Bei einem ungeraden Vielfachen von 180° als Torsion hat die Figur nur eine Seite und nur einen Rand. Die Abbildung 4 zeigt ein Beispiel mit einer Torsion von 5*180° = 900°.

Abb. 4a: Torsion 5x180°

Abb. 4b: Sicht von oben

3 Dreieckiger Querschnitt

Wir denken uns ein Dreikant-Prisma, welches wir zu einem Ring zusammenbiegen. Wenn wir das „einfach so“ machen, können wir die drei Seiten des Prismas mit drei verschiedenen Farben versehen (Abb. 5). Die einzelnen Flächen sind Zylinderflächen (grün) oder Kegelflächen (rot und blau) und können in die Ebene abgewickelt werden.

Abb. 5: Zum Ring gebogenes Dreikant-Prisma

Wenn wir aber eine Torsion von 120° anbringen, stoßen falsche Farben aneinander (Abb. 6).

Abb. 6a: Torsion 120°

Abb. 6b: Sicht von oben

Wir müssen alle Flächen mit derselben Farbe einfärben (Abb. 7) und erhalten so eine einzige Fläche. Sie ist nicht in die Ebene abwickelbar. Wir haben einen Möbiuskörper, der nur eine Kante hat.

Abb. 7a: Möbiuskörper

Abb. 7b: Sicht von oben

Die Abbildung 8 zeigt eine Spantenfigur zum Möbiuskörper. Die Spanten können mit elastischen Material, zum Beispiel nassem Papier, überzogen werden. So entsteht approximativ ein Möbiuskörper.

Abb. 8a: Spanten

Abb. 8b: Sicht von oben

Bei einer Torsion von 240° ergeben sich dieselben Phänomene wie bei einer Torsion von 120°.

Bei einer Torsion von 360° hingegen können wir wieder mit drei Farben arbeiten (Abb. 9). Die Flächen sind aber nicht in die Ebene abwickelbar.

Abb. 9a: Torsion 360°

Abb. 9b: Sicht von oben

Allgemein gilt bei einem gleichseitigen Dreieck als Spant:

Torsion : Drei Farben möglich.

Torsion oder : Nur eine Farbe möglich. Möbiuskörper.

Die Abbildung 10 zeigt ein Beispiel für . Wir können mit drei Farben arbeiten.

Abb. 10a: Torsion 1440°

Abb. 10b: Torsion 1440°

4 Allgemein

Wir nehmen ein regelmäßiges n-Eck als Querschnitt, also als Spant.

Die Torsion sei .

Dann können wir mit Farben arbeiten.

Beispiel: Wir arbeiten mit einem regelmäßigen Zwölfeck, also n = 12. Weiter sei m = 0. Die Abbildungen 11.0 bis 11.12 zeigen die Situation für k von 0 bis 12, jeweils in der Sicht von oben. Die Anzahl der Kanten ist gleich der Anzahl der Farben.