Hans Walser, [20070506b], [20131221]

NŠherungskonstruktionen fŸr die Kreiszahl ¹

1        Quadratraster und gleichseitiges Dreieck

Wie lang ist die rote Strecke?

Wie lang ist die rote Stecke?

Bearbeitung

Wir setzen die Maschenweite des Quadratrasters gleich 1. Dann ist:

 

 

Diese NŠherungskonstruktion der Kreiszahl  geht auf Adam Adamandy Kochanski (1631-1700) zurŸck. Sie wurde 1685 entwickelt.

2        Quadratraster und regelmŠ§iges Sechseck

Wie lang ist die rote Strecke?

Wie lang ist die rote Stecke?

Bearbeitung

Wir setzen die Maschenweite des Quadratrasters gleich 1. Dann ist:

 

 

Diese NŠherungskonstruktion der Kreiszahl  geht auf Adam Adamandy Kochanski (1631-1700) zurŸck. Sie wurde 1685 entwickelt.

3              NŠherungskonstruktion fŸr die Kreiszahl ¹

Wie gut ist die durch die Figur angedeutete Approximation der Kreiszahl ¹?

Approximation von ¹

Ergebnis

 

 

Die Zahl ist etwa 0.15% zu gro§.

4              NŠherungskonstruktion mit Achteck

Kreis und Achteck

a)      Wie unterscheiden sich die KreisflŠche und die AchtecksflŠche? Welchen NŠhrungswert erhalten wir fŸr die Kreiszahl ¹, wenn wir die beiden FlŠchen gleichsetzen?

b)     Wie unterscheiden sich der Kreisumfang und der Achtecksumfang? Welchen NŠhrungswert erhalten wir fŸr die Kreiszahl ¹, wenn wir die beiden UmfŠnge gleichsetzen?

Bearbeitung

a)      KreisflŠche = ; AchteckflŠche = 7. Die AchtecksflŠche ist um etwa ein Prozent kleiner als die KreisflŠche.  Bei Gleichsetzen der beiden FlŠchen ergibt sich fŸr die Kreiszahl ¹ der NŠherungswert:

 

 

b)     Kreisumfang = ; Achteckumfang = Bei Gleichsetzen der beiden UmfŠnge ergibt sich fŸr die Kreiszahl ¹ der NŠherungswert:

 

 

5              NŠherungskonstruktion mit Achteck

Kreis und Achteck

Wir setzen an die Seiten eines Quadrates halbe gleichseitige Dreiecke an. Dadurch entsteht ein Achteck; dieses ist unregelmŠ§ig. Es hat zwar gleich lange Seiten, aber die Winkel messen abwechslungsweise 120¡ und 150¡.

a)      Wie unterscheiden sich die GesamtflŠche dieses Achteckes und die FlŠche des Umkreises des Quadrates? Welchen NŠhrungswert erhalten wir fŸr die Kreiszahl ¹, wenn wir die beiden FlŠchen gleichsetzen?

b)     Wie unterscheiden sich der Kreisumfang und der Achteckumfang? Welchen NŠherungswert erhalten wir fŸr die Kreiszahl ¹, wenn wir die beiden UmfŠnge gleichsetzen?


Bearbeitung

a)      KreisflŠche = ; AchteckflŠche = . Die AchteckflŠche ist etwa 0.4% grš§er als die KreisflŠche. Bei Gleichsetzen der beiden FlŠchen ergibt sich fŸr die Kreiszahl ¹ der NŠherungswert:

 

 

b)     Kreisumfang = ; Achteckumfang = Bei Gleichsetzen der beiden UmfŠnge ergibt sich fŸr die Kreiszahl ¹ der NŠherungswert:

 

 

Bemerkung: Die Schnittpunkte des Achteckes mit dem Umkreis des Quadrates bilden ein regelmŠ§iges Zwšlfeck.

RegelmŠ§iges Zwšlfeck