Hans Walser, [20150608]
Negative Dimensionen
AnlŠsslich eines Workshops Ÿber hšherdimensionale HyperwŸrfel stellte ein SchŸler die Frage, ob es auch WŸrfel der Dimension –1 gebe.
Wir denken zunŠchst Ÿber HyperwŸrfel mit positiven ganzzahligen Dimensionen nach und versuchen dann Verallgemeinerungen.
Die Tabelle 1 ist die Bauteiltabelle fŸr HyperwŸrfel.
Die
Dimension des HyperwŸrfels wird mit n
bezeichnet. FŸr n = 0, n = 1 und n = 2 sind die Sonderbezeichnungen Punkt, Strecke und Quadrat gelŠufig.
Mit k bezeichnen wir die Bauteildimension.
n\k |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
0 |
1 |
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|
|
1 |
2 |
1 |
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2 |
4 |
4 |
1 |
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|
3 |
8 |
12 |
6 |
1 |
|
|
4 |
16 |
32 |
24 |
8 |
1 |
|
5 |
32 |
80 |
80 |
40 |
10 |
1 |
Tab. 1: Bauteile
Lesebeispiel: Der gewšhnliche WŸrfel ist dreidimensional, also ist n = 3. Er hat 8 Ecken (Dimension k = 0), 12 Kanten (Dimension k = 1), 6 Seitenquadrate (Dimension k = 2) und schlie§lich einmal sich selber (Dimension k = 3).
Mit bezeichnen wir im n-dimensionalen HyperwŸrfel die Anzahl der Bauteile der Dimension k. Die
sind also die EintrŠge der Tabelle 1.
Die nach
unten offene Dreiecksmatrix der bezeichnen wir mit B.
Es gilt die Rekursion:
Herleitung durch eine geometrische †berlegung: Kopieren und Verschieben in eine weitere freie Richtung, die zu den bisherigen Richtungen orthogonal ist.
Weglassen des Faktors 2 in der Rekursion gibt die Rekursion der Binomialkoeffizienten.
Wenn wir mit P die nach unten offene Dreiecksmatrix der Binomialkoeffizienten verstehen (Pascal-Dreieck), gilt:
Es gilt:
Hier zeigt sich erneut ein Link zu den Binomialkoeffizienten.
Es ist:
Vergleiche dazu:
Es ist:
Wir haben eine Invariante. Im Prinzip ist das die Euler-Charakteristik.
Es ist:
Wir sehen, wie der Hase lŠuft. Die Koeffizienten sind die EintrŠge aus unserer Bauteiltabelle. Die Potenzen der x entsprechen den Dimensionen der Bauteile.
Allgemein ist:
Die
Abbildung 1 zeigt die Grafen fŸr
.
Abb. 1: Grafen
Nun sei n eine ganze Zahl. Sie kann also auch negativ sein.
Die
explizite Formel funktioniert auch in diesem Fall.
Wir erhalten damit:
n\k |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
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0 |
1 |
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1 |
2 |
1 |
|
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2 |
4 |
4 |
1 |
|
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3 |
8 |
12 |
6 |
1 |
|
|
4 |
16 |
32 |
24 |
8 |
1 |
|
5 |
32 |
80 |
80 |
40 |
10 |
1 |
Tab. 2: Bauteile
Der kritische Punkt sind die Binomialkoeffizienten. Wir kšnnen diese wie folgt definieren und berechnen:
Diese
Formel funktioniert fŸr beliebiges ,
insbesondere also auch fŸr negative ganze Zahlen n. Allerdings haben wir in diesem Fall keinen Faktor null im
ZŠhler, die Formel funktioniert daher fŸr beliebig gro§e k. Daher ergibt sich im oberen Teil der Tabelle 2 keine
Dreiecksmatrix. Es wird der ganze Quadrant ausgefŸllt.
In der
Tabelle 2 der Bauteile gilt die Rekursion auch im oberen Teil und insbesondere beim
†bergang vom oberen Teil zum unteren Teil. Der Autor gesteht, dass er zunŠchst
mit dieser Rekursion und RŸckwŠrtsrechnen den oberen Teil der Tabelle 2
bestimmt hat.
Aus der
Tabelle 2 erhalten wir fŸr die Zeilensumme (nun eine Reihe):
Das passt
zur Zeilensumme .
FŸr wird die Zeilensumme spannend:
CAS gibt
den Wert ,
aber das wollen wir nun selber berechnen. Dazu arbeiten wir mit der formalen
Potenzreihe:
Wir leiten links und rechts ab:
Vergleich ergibt:
Einsetzen
von liefert:
Die Rechnerei hŠtten wir uns allerdibgs sparen kšnnen: Wegen der Rekursionsformel ist eine Zeilensumme jeweils das Dreifache der Zeilensumme der darŸber liegenden Zeile.
Aus der
Tabelle 2 ergibt sich fŸr die alternierende Zeilensumme:
Die Euler-Charakteristik stimmt also auch hier.
FŸr wird die Sache trickier. Wir verwenden
wieder die Formel:
und
erhalten fŸr :
Wer Lust
hat, kann die Euler-Charakteristik fŸr oder gar allgemein nachrechnen.
Wir rechnen im oberen Teil der Tabelle 2 von links oben nach rechts unten mit der Steigung –1. Da haben wir ja schon lŠngst die Binomialkoeffizienten entdeckt.
FŸr die SchrŠgzeilensumme erhalten wir (mit der Ausnahme der untersten SchrŠgzeile) den Wert null.
FŸr die
alternierende SchrŠgzeilensumme erhalten wir durchgehend den Wert .
Die EintrŠge in der Bauteiltabelle treten auch als Koeffizienten in Taylor-Entwicklungen auf. Die Beziehung
kann auf negative n Ÿbertragen werden. Es gilt fŸr negative ganze Zahlen n:
Wir mŸssen mit Taylor-Entwicklungen arbeiten.
Beispiele:
FŸr n = –1 erhalten wir:
FŸr n = –2 erhalten wir:
Die
Abbildung 2 zeigt die Grafen fŸr .
Abb. 2: Grafen auch fŸr negative Exponenten
Die Tabelle 3 zeigt die Binomialkoeffizienten auch fŸr negative Werte von n.
n\k |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1 |
|
21 |
|
126 |
|
|
1 |
|
15 |
|
70 |
|
|
1 |
|
10 |
|
35 |
|
|
1 |
|
6 |
|
15 |
|
|
1 |
|
3 |
|
5 |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
3 |
1 |
3 |
3 |
1 |
|
|
4 |
1 |
4 |
6 |
4 |
1 |
|
5 |
1 |
5 |
10 |
10 |
5 |
1 |
Tab. 3: Binomialkoeffizienten
Die Ÿbliche Rekursion der Binomialkoeffizienten gilt auch im oberen Teil und insbesondere beim †bergang vom oberen Teil zum unteren Teil.
Wir erkennen im oberen Teil ein ãschrŠgesÒ und alternierend mit Minuszeichen versehenes Pascaldreieck.
FŸr die
Zeilensumme gilt ja im Pascaldreieck die Formel .
Da haben wir im negativen Teil etwas MŸhe. FŸr
ergibt sich die Zeilensumme:
Das fŸhrt zum berŸhmten Dialog zwischen Silvia und Silvio:
Silvia fasst in Zweiergruppen zusammen und erhŠlt null:
Silvio macht dasselbe, lŠsst aber die vorderste 1 stehen:
Wer hat
Recht? In einer Konkordanzdemokratie wŸrde man den salomonischen Mittelwert aushandeln. Das ist erst noch der
erwartete Wert
.
Wir kšnnen auch die Formel fŸr geometrische Reihen anwenden:
Das gibt
zwar auch den erwarteten Wert ,
ist aber etwas abenteuerlich. Wir reiten auf dem Konvergenzradius.
Interessant ist, dass wir bei der Bauteiltabelle (Tabelle 2) keine derartigen Probleme mit der Konvergenz haben.
GemŠ§ der Tabelle 2 besteht der HyperwŸrfel der Dimension –1 aus folgenden Bauteilen:
Also:
Voilˆ.
Der Autor gesteht, dass er sich das auch nicht vorstellen kann.
Die Taylor-Entwicklung kšnnen wir natŸrlich auch fŸr gebrochene Exponenten vornehmen. Im Folgenden zwei Beispiele.
FŸr ergibt
sich:
Dabei definieren wir:
In Zahlen:
Am Anfang ist das alternierende Vorzeichen gestšrt. Das ist aber korrekt so.
FŸr ergibt
sich:
In Zahlen:
Der Vergleich mit der Dimension ½ ist interessant.