Hans Walser, [20230920]
Normalvektor
Idee und Anregung: Hartmut Müller-Sommer, Vechta
1 Worum es geht
Eine geeignete Schreibweise des Normalvektors einer Ebene im Raum führt zum Flächeninhalt des Spurendreieckes.
Die Grundidee geht auf Johannes Faulhaber (1580-1635) zurück.
2 Der Normalvektor
Die Ebene mit der Gleichung x/a + y/b + z/c = 1 hat die Achsenabschnitte a, b, c.
Die in der Schule übliche Schreibweise des Normalvektors ist [1/a, 1/b, 1/c].
Wir verwenden für den Normalvektor neu die Schreibweise ½[bc, ca, ab]. Wegen ½abc[1/a, 1/b, 1/c] = ½[bc, ca, ab] ist dies tatsächlich auch ein Normalvektor der Ebene.
Die Abbildung 1 illustriert den Sachverhalt für a = 2, b = 3, c = 4. Der Normalvektor in der konventionellen Schreibweise ist rot gezeichnet, der Normalvektor in unserer neuen Schreibweise blau. Beide Normalvektoren gehen vom Nullpunkt aus.
Abb. 1: Normalvektoren
3 Geometrische Eigenschaften
Der Normalvektor in unserer neuen Schreibweise ½[bc, ca, ab] hat folgende geometrische Eigenschaften.
Die erste Komponente ½bc ist der
Flächeninhalt des Stützdreieckes der zweiten Spurgeraden (in der y,z-Koordinatenebene) der Ebene.
Die zweite Komponente ½ca ist der Flächeninhalt des Stützdreieckes der
dritten Spurgeraden (in der z,x-Koordinatenebene)
der Ebene.
Die dritte Komponente ½ab ist der Flächeninhalt des Stützdreieckes der
ersten Spurgeraden (in der x,y-Koordinatenebene)
der Ebene.
Die Länge des Normalvektors in der Schreibweise ½[bc, ca, ab] entspricht dem Flächeninhalt des Spurgeradendreieckes. Dies ergibt sich aus einem Satz von Faulhaber. Direkter Nachweis: Das Spurgeradendreieck wird aufgespannt durch die beiden Vektoren [–a, b, 0] und [–a, 0, c]. Für deren Kreuzprodukt erhalten wir: [–a, b, 0] × [–a, 0, c] = [bc, ca, ab]. Dies ist bis auf den Faktor ½ der Normalvektor in unserer neuen Schreibweise.
Die halbe Länge des Kreuzproduktes entspricht dem Flächeninhalt des aufgespannten Dreieckes.
Weblink
Hans Walser: Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/V/Verallg_Pythagoras2/Verallg_Pythagoras2.htm