Hans Walser, [20210123]

nd-Kreis

1 Worum geht es?

Formal stringente Verallgemeinerung der Parameterdarstellung des Einheitskreises in höhere Dimensionen.

2 Erinnerung

In der Ebene definiert

(1)

den Einheitskreis in einer nicht ganz üblichen Schreibweise.

3 Verallgemeinerung

Wir verallgemeinern (1) in die Dimension n:

(2)

4 Beispiele

4.1 Im 3d-Raum

Wir haben die Raumkurve:

(3)

Die Abbildung 1 zeigt, was dabei herauskommt.

Abb. 1: 3d-Kreis

Es handelt sich offensichtlich um einen gewöhnlichen Kreis.

Er hat den Achsenvektor [1,–1,1] und den Radius sqrt(3/2) (Abb. 2). Interessant ist das Minuszeichen im Achsenvektor.

Abb. 2: Achse und Kugel

Durch Variation der Vorzeichen in (3) erhalten wir insgesamt 4 Kreise (Abb. 3). Es handelt sich um die Zenralprojektion des Kuboktaeders auf seine Umkugel.

Abb. 3.1: Vier Kreise

Abb. 4.2: Kreise auf Kugel

4.2 Im 4d-Raum

Wir haben die Parameterdarstellung:

(4)

Der Kreis hat den Radius sqrt(2). Die Abbildungen 3.1 bis 3.4 zeigen vier Orthogonalprojektionen in den 3d-Raum. Das Suffix zeigt die jeweils weggelassene Dimension an.

Es sind offenbar alles Ellipsen.

Abb. 4.1

Abb. 4.2

Abb. 4.3

Abb. 4.4