Hans Walser, [20130116]

Null hoch null

Anregung: S.M.S., B.

Frage

Was ergibt ? — Immerhin ergibt  immer 1 und  immer 0... .

Bearbeitung

1        Experimente mit Taschenrechnern

Sharp PC-1211 liefert:

Texas Instruments TI-31 SOLAR liefert Error.

Der Rechner in meinem Computer liefert:

Der Google-Rechner liefert:  

Wir haben eine ganze Palette von Ergebnissen.

2         Hoch null

Die Frage nach  wird wie folgt bearbeitet:

 

 

 

 

 

 

Wir kommen also zu  durch Dividieren. Es wird durch x dividiert. Nun ist aber eine Division nur sinnvoll, wenn der Divisor nicht null ist. Man kann nicht durch null dividieren. Das hei§t aber,  gilt nur fźr .

Mit andern Worten:  ist nicht sinnvoll. Es ist ăverbotenŇ so wie auch die Division durch null ăverbotenŇ ist.


3        AnnŠherung an null

Wir berechnen  fźr x-Werte, die gegen Null streben.

 

x

x^x

0.1

0.7943282347

0.01

0.9549925860

0.001

0.9931160484

0.0001

0.9990793900

0.00001

0.9998848774

0.000001

0.9999861846

0.0000001

0.9999983882

0.00000001

0.9999998158

 

Wir vermuten:

 

Beweis: ZunŠchst ist:

 

 

Daraus ergib sich:

 

 

Wir bearbeiten den Exponenten. Mit der Regel von Bernoulli-de lŐH™pital erhalten wir:

 

 

Somit ist:

 

 

Die Funktion  ist fźr  nicht definiert, es ist aber . Die Abbildung zeigt den Grafen der Funktion.

Funktionsgraf

Die folgende Abbildung zeigt den Funktionsgrafen von . Diese Funktion ist auf  definiert.

Erweiterung der Funktion