Hans Walser, [20131210]
Origami und DIN-Format
Anregung: A. L., S.
Durch einen einfachen Faltprozess erhalten wir im Origami-Quadrat ein Rechteck im DIN-Format.
Wir vierteln zwei gegenŸberliegende rechte Winkel des Origami-Quadrates (Abb. 1a).
Abb. 1: Winkelhalbierende
Dann kšnnen wir ein Rechteck mit dem SeitenverhŠltnis (DIN-Format) einspannen (Abb. 1b).
Die Winkelhalbierende im Dreieck teilt die Gegenseite im VerhŠltnis der anliegenden Seiten.
Daher ist in unserem Fall (Abb. 2):
Abb. 2: Beweisfigur
Dieses VerhŠltnis ŸbertrŠgt sich auf das SeitenverhŠltnis des Rechteckes in Abbildung 1b.
Wegen x + y = 1 ergibt sich:
FŸr die Seiten a und b des Rechteckes erhalten wir:
Damir ergibt sich die RechteckflŠche:
Wir finden im DIN-Rechteck der Abbildung 1b auch das so genannte Silberne Rechteck (Abb. 3).
Abb. 3: Silbernes Rechteck
Das Silberne Rechteck entsteht als Restrechteck beim Abschneiden eines Quadrates von einem DIN-Rechteck. Es hat das SeitenverhŠltnis und den Diagonalen-Schnittwinkel 45¡.
Wir vierteln alle vier rechten Winkel des Quadrates. Wir finden dabei nochmals das Silberne Rechteck (Abb. 4a) sowie ein regelmŠ§iges Achteck (Abb. 4b).
Abb. 4: Silbernes Rechteck und regelmŠ§iges Achteck
Wir zeichnen nun in der Figur der Abbildung 4b zusŠtzlich ein Rechteck im DIN-Format gemŠ§ Abbildung 1b ein (Abb. 5a).
Abb. 5: Achteck und DIN-Rechteck
ZunŠchst stellen wir fest, dass zwei diametrale Achteckecken genau in den Mittelpunkten der langen Seiten des DIN-Rechteckes liegen. Dies lŠsst sich mit TeilverhŠltnissen und StrahlensŠtzen einsehen. Weiter ist der FlŠcheninhalt des Achteckes genau die HŠlfte des FlŠcheninhaltes des DIN-Rechteckes. Die Abbildung 5b illustriert das mit einer Zerlegung.
In der Abbildung 1b sehen wir an den Quadratecken im Wechsel zwei gro§e und zwei kleine rechtwinklig gleichschenklige Dreiecke. Wir falten nun die zwei kleinen hinein (Abb. 6a).
Abb. 6: Gleichseitiges Sechseck mit Winkeln 90¡ und 135¡
Der Umriss der Figur ist ein gleichseitiges Sechseck. Dieses ist aber nicht gleichwinklig, sondern hat zwei rechte Winkel und vier Winkel von 135¡. Das Sechseck ist also nicht regelmŠ§ig.
Nun falten wir Linien gemŠ§ Abbildung 6b. Diese Faltlinien sind als ãTalfaltenÒ zu verstehen. Damit erhalten wir die Abwicklung eines (unregelmŠ§igen) Tetraeders. Ein Tetraeder dieser Art hei§t Orthoschem; es ist die rŠumliche Verallgemeinerung des rechtwinklig gleichschenkligen Dreieckes. Es entsteht als konvexe HŸlle dreier aufeinanderfolgender paarweise orthogonaler WŸrfelkanten (Abb. 7).
Abb. 7: Orthoschem
Da die diagonale Faltlinie im DIN-Rechteck der Abbildung 6b auf zwei verschiedene Arten gewŠhlt werden kann, gibt es zwei zueinander spiegelbildliche AusfŸhrungen des Orthoschems. Man kann den WŸrfel mit drei ãlinkenÒ und drei ãrechtenÒ Orthoschems ausfŸllen.
Wir verwenden nun das gleichseitige Sechseck der Abbildung 6 als Parkettstein.
ZunŠchst gibt es eine Parkettierung, welche ein affin verzerrtes Bild der regulŠren Hexagonalparkettierung (Bienenwabenmuster) ist (Abb. 8).
Abb. 8: Hexagonalparkettierung
Es gibt aber auch ein Parkett mit einer vierteiligen Drehsymmetrie und einer SingularitŠt im Zentrum (Abb. 9). Das ist der einzige Punkt, in welchem vier Parkettsteine zusammensto§en.
Abb. 9: Vierteilige Symmetrie
Das Ganze hat System und lŠsst sich verallgemeinern (Abb.10).
Abb.10: Verallgemeinerung
Literatur
Walser,
Hans (2013): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes
Trapez – DIN-Quader. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2013. ISBN
978-3-937219-69-1.