Hans Walser, [20140901]

Origami im Raum

Anregung: G. G., B.

1     Worum geht es?

Statt mit einem quadratischen Origami-Papier arbeiten wir mit entsprechenden Analoga im Raum.

2     Klassisches Origami und einige Beispiele

Das klassische Origami verwendet ein quadratisches Papier, das dann gefaltet wird. Papier wird in der Regel als zweidimensional gesehen obwohl es wegen seiner Dicke streng genommen ein dreidimensionales Objekt ist. Das Falten benštigt auf den dreidimensionalen Umgebungsraum. Wenn wir aber nur an den Resultaten interessiert sind, kšnnen wir abstrakt von zweidimensionaler Geometrie sprechen. Im Folgenden einige einfache Beispiele.

2.1    Kantenmitten einfalten

Mit Hilfe der Diagonalen oder der Mittelparallelen bestimmen wir zunŠchst den Mittelpunkt. Dann falten wir die Kantenmitten in den Mittelpunkt des Quadrates (Abb. 1).

 

Abb. 1: Einfalten der Kantenmitten

 

Es entsteht ein vierfach Ÿberlagertes Quadrat. Der FlŠcheninhalt ist ein Viertel des FlŠcheninhaltes des Origami-Quadrates. Der Umriss des neuen Quadrates liegt auf den Mittelsenkrechten der Kantenmitten und des Mittelpunktes.

Man beachte die ãPropellerfaltungÒ im letzten Schritt. Sie ist rein Šsthetisch begrŸndet und soll eine vierteilige zyklische Symmetrie ermšglichen.

2.2    Ecken einfalten

Wir falten die Ecken in die Mitte (Abb. 2).

 

Abb. 2: Ecken einfalten

 

Es entsteht ein doppelt Ÿberlagertes Quadrat. Der FlŠcheninhalt des neuen Quadrates ist demzufolge die HŠlfte des FlŠcheninhaltes des Origami-Quadrates. Der Umriss des neuen Quadrates liegt auf den Mittelsenkrechten der Endpunkte und des Mittelpunktes.

2.3    Wie es auch noch geht

Wir falten exemplarisch ãDrittelpunkteÒ auf den Kanten in die Mitte (Abb. 3).

 

Abb. 3: Einfalten der Drittelpunkte in die Mitte

 

Es entsteht wieder ein Quadrat. Der Umriss des neuen Quadrates liegt auf den Mittelsenkrechten der Drittelpunkte und des Mittelpunktes. Die †berlagerung ist nicht mehr homogen. Der FlŠcheninhalt des neuen Quadrates ist  des FlŠcheninhaltes des Origami-Quadrates.

Allgemein Erhalten wir in der Situation der Abbildung 4 einen FlŠcheninhalt von  des FlŠcheninhaltes des Origami-Quadrates. Die †berlagerung ist im Allgemeinen nicht homogen.

 

Abb. 4: Allgemeiner Fall

 

3     Kubisches Origami

Wir denken uns einen WŸrfel als Origami-Ausgangsmaterial. Zum Falten mŸssten wir in die vierte Dimension ausweichen. Wir kšnnen uns aber auch mit einem Schnitt mit der Mittelnormalebene zweier aufeinander zu faltender Punkte behelfen. Leider kšnnen wir nicht mehr wie bei den Abbildungen 1 bis 3 mit verschiedenen Farben fŸr Vorderseite und RŸckseite operieren, da die Begriffe vorn und hinten sich auf die vierte Dimension beziehen mŸssten.

3.1    Seitenmitten einfalten

Wir falten die Mittelunkte der sechs SeitenflŠchen des WŸrfels in den WŸrfelmittelpunkt. Dadurch einsteht ein achtfach Ÿberlagerter WŸrfel. Die Abbildung 5 zeigt die ersten Faltschritte und das Endresultat.

 

Abb. 5: Seitenmitten in WŸrfelmitte einfalten

 

3.2    Kantenmitten einfalten

Die Abbildung 6 zeigt die ersten Schritte und das Endresultat beim Einfalten der Kantenmitten.

 

Abb. 6: Kantenmitten in WŸrfelmitte einfalten

 

Es entsteht ein Rhombendodekaeder. Sein Volumen ist ein Viertel des Volumens des Origami-Quaders.

Die †berlagerung ist nicht homogen.

3.3    Ecken einfalten

Das ist das spannendste Beispiel. Die Abbildung 7 zeigt das Einfalten der ersten Ecke in die WŸrfelmitte als transparentes Bild.

 

Abb. 7: Einfalten einer Ecke

 

Die Abbildung 8 zeigt das Endresultat. Es handelt sich um ein abgestumpftes Oktaeder.

 

Abb. 8: Abgestumpftes Oktaeder

 

Das Volumen des abgestumpften Oktaeders ist die HŠlfte des Volumens des Origami-Quaders.

3.4    RaumfŸller

Die drei Ergebnisse unserer Faltprozesse beim Origami-WŸrfel also WŸrfel, Rhombendodekaeder und abgestumpftes Oktaeder sind so genannte RaumfŸller. Der Raum kann damit lŸckenlos und Ÿberlappungsfrei ausgefŸllt werden. Die Abbildungen 9, 10 und 11 zeigen je eine mit diesen RaumfŸllern aufgeschichtete Pyramide.

 

Abb. 9: WŸrfelpyramide

 

Abb. 10: Pyramide aus Rhombendodekaedern

 

Abb. 11: Pyramide aus abgestumpften Oktaedern

 

4     Oktaeder-Origami

Oft wird nur der WŸrfel als rŠumliches Analogon des Quadrates gesehen. Das ist eine eingeschrŠnkte Sicht. Wenn wir das Quadrat als konvexe HŸlle von zwei gleich langen sich mittig orthogonal schneidenden Strecken sehen, ist das dreidimensionale Analogon das Oktaeder (Abb. 12).

 

Abb. 12: Quadrat und Oktaeder

 

Wir arbeiten daher nun mit einem Oktaeder-Origami.

4.1    Seitenmitten einfalten

Es entsteht wieder ein Oktaeder.

4.2    Kantenmitten einfalten

Es entsteht das Rhombendodekaeder.

4.3    Ecken einfalten

Es entsteht ein WŸrfel.

4.4    Wie es auch noch geht

Analog zur Abbildung 3 dritteln wir die Oktaederkanten (Abb. 13). Dabei machen wir das so, dass die Kantenabschnitte von einer Oktaederecke aus gesehen abwechslungsweise ein Drittel und zwei Drittel ausmachen. Dies ist in der Abbildung 13 durch die Farbgebung angedeutet.

 

Abb. 13: Dritteln der Oktaederkanten

 

Wenn wir nun diese Teilpunkte in die Oktaedermitte einfalten, entsteht ein Pentagondodekaeder (Abb. 14). Die Farbgebung richtet sich nach der Farbe der eingefalteten Teilpunkte.

 

Abb. 14: Dodekaeder

 

Das Dodekaeder besteht aus zwšlf kongruenten, aber nicht regelmŠ§igen FŸnfecken. Die FŸnfecke sind achsensymmetrisch. Vier der fŸnf Kanten sind gleich lang. Die fŸnfte Kante (ãBasisÒ) hat eine abweichende LŠnge. An einer Basis sto§en jeweils gleichfarbene FŸnfecke zusammen.

Der Winkel α zwischen zwei an einer Basis zusammensto§enden FŸnfecken betrŠgt:

 

 

 

Allgemein ergibt sich fŸr Teilpunkte zum VerhŠltnis a:b (a > b) der Winkel α:

 

 

 

Wenn wir speziell mit Teilpunkten im VerhŠltnis des Goldenen Schnittes arbeiten ergibt sich das regelmŠ§ige Pentagondodekaeder.