1 Problemstellung

Es sind alle ein-, zwei- und dreistelligen Zahlen gesucht, für die gilt, dass die Zahlen selbst und die Quadrate dieser Zahlen Palindrome sind.

2 Palindromische Zahlen

Palindromische Zahlen haben eine symmetrische Ziffernfolge.

Die Anzahl der palindromischen Zahlen hängt vom gewählten Zahlensystem (Positionssystem) an.

Im Dezimalsystem gibt es zwischen 1 und 1024 (Grenzen eingeschlossen) 109 palindromische Zahlen (Tab. 1)

#	Zahl	#	Zahl	#	Zahl	#	Zahl
1	1	31	222	61	525	91	828
2	2	32	232	62	535	92	838
3	3	33	242	63	545	93	848
4	4	34	252	64	555	94	858
5	5	35	262	65	565	95	868
6	6	36	272	66	575	96	878
7	7	37	282	67	585	97	888
8	8	38	292	68	595	98	898
9	9	39	303	69	606	99	909
10	11	40	313	70	616	100	919
11	22	41	323	71	626	101	929
12	33	42	333	72	636	102	939
13	44	43	343	73	646	103	949
14	55	44	353	74	656	104	959
15	66	45	363	75	666	105	969
16	77	46	373	76	676	106	979
17	88	47	383	77	686	107	989
18	99	48	393	78	696	108	999
19	101	49	404	79	707	109	1001
20	111	50	414	80	717
21	121	51	424	81	727
22	131	52	434	82	737
23	141	53	444	83	747
24	151	54	454	84	757
25	161	55	464	85	767
26	171	56	474	86	777
27	181	57	484	87	787
28	191	58	494	88	797
29	202	59	505	89	808
30	212	60	515	90	818

Tab. 1: Im Dezimalsystem

Im Dualsystem gibt es im selben Bereich nur 62 palindromische Zahlen (Tab. 2).

#	Dez	Dual	#	Dez	Dual	#	Dez	Dual	#	Dez	Dual
1	1	1	17	85	1010101	33	297	100101001	49	585	1001001001
2	3	11	18	93	1011101	34	313	100111001	50	633	1001111001
3	5	101	19	99	1100011	35	325	101000101	51	645	1010000101
4	7	111	20	107	1101011	36	341	101010101	52	693	1010110101
5	9	1001	21	119	1110111	37	365	101101101	53	717	1011001101
6	15	1111	22	127	1111111	38	381	101111101	54	765	1011111101
7	17	10001	23	129	10000001	39	387	110000011	55	771	1100000011
8	21	10101	24	153	10011001	40	403	110010011	56	819	1100110011
9	27	11011	25	165	10100101	41	427	110101011	57	843	1101001011
10	31	11111	26	189	10111101	42	443	110111011	58	891	1101111011
11	33	100001	27	195	11000011	43	455	111000111	59	903	1110000111
12	45	101101	28	219	11011011	44	471	111010111	60	951	1110110111
13	51	110011	29	231	11100111	45	495	111101111	61	975	1111001111
14	63	111111	30	255	11111111	46	511	111111111	62	1023	1111111111
15	65	1000001	31	257	100000001	47	513	1000000001
16	73	1001001	32	273	100010001	48	561	1000110001

Tab. 2: Im Dualsystem

3 Palindromische Quadratzahlen

Wir fragen nun nach den palindromischen Zahlen, die auch ein palindromisches Quadrat haben. Da es nun deutlich weniger gibt, klappern wir den Bereich von 1 bis 1 000 000 ab.

Im Dezimalsystem gibt es in diesem Bereich 26 Beispiele (Tab. 3).

#	Zahl	Quadratzahl	#	Zahl	Quadratzahl
1	1	1	14	10001	100020001
2	2	4	15	10101	102030201
3	3	9	16	10201	104060401
4	11	121	17	11011	121242121
5	22	484	18	11111	123454321
6	101	10201	19	11211	125686521
7	111	12321	20	20002	400080004
8	121	14641	21	20102	404090404
9	202	40804	22	100001	10000200001
10	212	44944	23	101101	10221412201
11	1001	1002001	24	110011	12102420121
12	1111	1234321	25	111111	12345654321
13	2002	4008004	26	200002	40000800004

Tab. 3: Palindromische Quadratzahlen

Im Dualsystem gibt es in im Bereich von 1 bis 1 000 000_Dezimal nur zwei Beispiele (Tab. 4).

#	Dez	Dual	Quadratzahl
1	1	1	1
2	3	11	1001

Tab. 4: Magere Ausbeute im Dualsystem

4 Höhere Potenzen

#	Zahl	Kubikzahl
1	1	1
2	2	8
3	7	343
4	11	1331
5	101	1030301
6	111	1367631
7	1001	1003003001
8	10001	1000300030001
9	10101	1030607060301
10	11011	1334996994331
11	100001	1000030000300001
12	101101	1033394994933301
13	110011	1331399339931331

Tab. 5: Palindromische Kubikzahlen im Dezimalsystem

#	Dez	Dual	Kubikzahl
1	1	1	1
2	3	11	11011

Tab. 6: Palindromische Kubikzahlen im Dualsystem

Die Abbildung 1 zeigt das für die Tabelle 6 verwendete Programm (Maple).

restart: with(StringTools):

k := 0:

for n from 1 to 1000000 do

if IsPalindrome(convert(convert(n, binary), string)) and IsPalindrome(convert(convert(n^3, binary), string)) then

k := k+1:

lprint(k, n, convert(n, binary), convert(n^3, binary))

end:

Abb. 1: Programm

#	Zahl	Vierte Potenz
1	1	1
2	11	14641
3	101	104060401
4	1001	1004006004001
5	10001	10004000600040001
6	100001	100004000060000400001

Tab. 7: Vierte Potenz im Dezimalsystem

#	Dez	Dual	Vierte Potenz
1	1	1	1

Tab. 8: Vierte Potenz im Dualsystem

#	Zahl	Fünfte Potenz
1	1	1

Tab. 9: Fünfte Potenz

Weblink

Thomas Jahre: Aufgabe der Woche

https://www.schulmodell.eu/aufgabe-der-woche.html