Hans Walser, [20220529]
Palindromische Primzahlen
Idee und Anregung: Thomas Jahre, Aufgabe 60-714
Es gibt auch Primzahlen, die die Eigenschaft haben, dass sie ein Palindrom sind. Zwei solche Primzahlen bilden genau dann ein Zwillingspaar, wenn zwischen ihnen keine weitere Primzahl liegt. Es sind alle Paare zu finden, die zwischen 100 und 100 000 liegen.
Die Tabelle 1 zeigt die Primzahlen zwischen 1 und 1000 im Dezimalsystem.
Gelb unterlegt sind die palindromischen Primzahlen.
Wir sehen am Anfang ein Quintupel von Primzahlen und später drei Paare (#42/#43, #138/#139, #157/#158) von aufeinanderfolgenden palindromischen Primzahlen (das sind die gesuchten Zwillingspaare).
# |
Primzahl |
|
# |
Primzahl |
|
# |
Primzahl |
|
# |
Primzahl |
1 |
2 |
|
43 |
191 |
|
85 |
439 |
|
127 |
709 |
2 |
3 |
|
44 |
193 |
|
86 |
443 |
|
128 |
719 |
3 |
5 |
|
45 |
197 |
|
87 |
449 |
|
129 |
727 |
4 |
7 |
|
46 |
199 |
|
88 |
457 |
|
130 |
733 |
5 |
11 |
|
47 |
211 |
|
89 |
461 |
|
131 |
739 |
6 |
13 |
|
48 |
223 |
|
90 |
463 |
|
132 |
743 |
7 |
17 |
|
49 |
227 |
|
91 |
467 |
|
133 |
751 |
8 |
19 |
|
50 |
229 |
|
92 |
479 |
|
134 |
757 |
9 |
23 |
|
51 |
233 |
|
93 |
487 |
|
135 |
761 |
10 |
29 |
|
52 |
239 |
|
94 |
491 |
|
136 |
769 |
11 |
31 |
|
53 |
241 |
|
95 |
499 |
|
137 |
773 |
12 |
37 |
|
54 |
251 |
|
96 |
503 |
|
138 |
787 |
13 |
41 |
|
55 |
257 |
|
97 |
509 |
|
139 |
797 |
14 |
43 |
|
56 |
263 |
|
98 |
521 |
|
140 |
809 |
15 |
47 |
|
57 |
269 |
|
99 |
523 |
|
141 |
811 |
16 |
53 |
|
58 |
271 |
|
100 |
541 |
|
142 |
821 |
17 |
59 |
|
59 |
277 |
|
101 |
547 |
|
143 |
823 |
18 |
61 |
|
60 |
281 |
|
102 |
557 |
|
144 |
827 |
19 |
67 |
|
61 |
283 |
|
103 |
563 |
|
145 |
829 |
20 |
71 |
|
62 |
293 |
|
104 |
569 |
|
146 |
839 |
21 |
73 |
|
63 |
307 |
|
105 |
571 |
|
147 |
853 |
22 |
79 |
|
64 |
311 |
|
106 |
577 |
|
148 |
857 |
23 |
83 |
|
65 |
313 |
|
107 |
587 |
|
149 |
859 |
24 |
89 |
|
66 |
317 |
|
108 |
593 |
|
150 |
863 |
25 |
97 |
|
67 |
331 |
|
109 |
599 |
|
151 |
877 |
26 |
101 |
|
68 |
337 |
|
110 |
601 |
|
152 |
881 |
27 |
103 |
|
69 |
347 |
|
111 |
607 |
|
153 |
883 |
28 |
107 |
|
70 |
349 |
|
112 |
613 |
|
154 |
887 |
29 |
109 |
|
71 |
353 |
|
113 |
617 |
|
155 |
907 |
30 |
113 |
|
72 |
359 |
|
114 |
619 |
|
156 |
911 |
31 |
127 |
|
73 |
367 |
|
115 |
631 |
|
157 |
919 |
32 |
131 |
|
74 |
373 |
|
116 |
641 |
|
158 |
929 |
33 |
137 |
|
75 |
379 |
|
117 |
643 |
|
159 |
937 |
34 |
139 |
|
76 |
383 |
|
118 |
647 |
|
160 |
941 |
35 |
149 |
|
77 |
389 |
|
119 |
653 |
|
161 |
947 |
36 |
151 |
|
78 |
397 |
|
120 |
659 |
|
162 |
953 |
37 |
157 |
|
79 |
401 |
|
121 |
661 |
|
163 |
967 |
38 |
163 |
|
80 |
409 |
|
122 |
673 |
|
164 |
971 |
39 |
167 |
|
81 |
419 |
|
123 |
677 |
|
165 |
977 |
40 |
173 |
|
82 |
421 |
|
124 |
683 |
|
166 |
983 |
41 |
179 |
|
83 |
431 |
|
125 |
691 |
|
167 |
991 |
42 |
181 |
|
84 |
433 |
|
126 |
701 |
|
168 |
997 |
Tab. 1: Primzahlen
In der Tabelle 2 sind die palindromischen Primzahlen im Dezimalsystem zwischen 1 und 1 000 000 aufgelistet. Rot unterlegt sind die Zwillinge. Gegenüber der Tabelle 1 sind keine weiteren Zwillinge mehr aufgetaucht.
# |
Primzahl |
|
# |
Primzahl |
|
# |
Primzahl |
|
# |
Primzahl |
1 |
2 |
|
1647 |
13931 |
|
3766 |
35353 |
|
7737 |
78887 |
2 |
3 |
|
1682 |
14341 |
|
3799 |
35753 |
|
7781 |
79397 |
3 |
5 |
|
1726 |
14741 |
|
3848 |
36263 |
|
7809 |
79697 |
4 |
7 |
|
1805 |
15451 |
|
3877 |
36563 |
|
7836 |
79997 |
5 |
11 |
|
1814 |
15551 |
|
3947 |
37273 |
|
8780 |
90709 |
26 |
101 |
|
1867 |
16061 |
|
3980 |
37573 |
|
8804 |
91019 |
32 |
131 |
|
1897 |
16361 |
|
4023 |
38083 |
|
8997 |
93139 |
36 |
151 |
|
1917 |
16561 |
|
4030 |
38183 |
|
9004 |
93239 |
42 |
181 |
|
1928 |
16661 |
|
4087 |
38783 |
|
9047 |
93739 |
43 |
191 |
|
2009 |
17471 |
|
4136 |
39293 |
|
9074 |
94049 |
65 |
313 |
|
2060 |
17971 |
|
6959 |
70207 |
|
9100 |
94349 |
71 |
353 |
|
2083 |
18181 |
|
6987 |
70507 |
|
9128 |
94649 |
74 |
373 |
|
2117 |
18481 |
|
6995 |
70607 |
|
9147 |
94849 |
76 |
383 |
|
2196 |
19391 |
|
7059 |
71317 |
|
9153 |
94949 |
129 |
727 |
|
2250 |
19891 |
|
7119 |
71917 |
|
9249 |
95959 |
134 |
757 |
|
2260 |
19991 |
|
7149 |
72227 |
|
9274 |
96269 |
138 |
787 |
|
3255 |
30103 |
|
7193 |
72727 |
|
9291 |
96469 |
139 |
797 |
|
3267 |
30203 |
|
7222 |
73037 |
|
9316 |
96769 |
157 |
919 |
|
3285 |
30403 |
|
7235 |
73237 |
|
9365 |
97379 |
158 |
929 |
|
3312 |
30703 |
|
7271 |
73637 |
|
9385 |
97579 |
1263 |
10301 |
|
3320 |
30803 |
|
7305 |
74047 |
|
9409 |
97879 |
1285 |
10501 |
|
3341 |
31013 |
|
7371 |
74747 |
|
9448 |
98389 |
1293 |
10601 |
|
3391 |
31513 |
|
7444 |
75557 |
|
9474 |
98689 |
1367 |
11311 |
|
3467 |
32323 |
|
7513 |
76367 |
|
|
|
1377 |
11411 |
|
3480 |
32423 |
|
7540 |
76667 |
|
|
|
1483 |
12421 |
|
3590 |
33533 |
|
7603 |
77377 |
|
|
|
1519 |
12721 |
|
3691 |
34543 |
|
7610 |
77477 |
|
|
|
1528 |
12821 |
|
3719 |
34843 |
|
7660 |
77977 |
|
|
|
1583 |
13331 |
|
3736 |
35053 |
|
7701 |
78487 |
|
|
|
1635 |
13831 |
|
3749 |
35153 |
|
7727 |
78787 |
|
|
|
Tab. 2: Palindromische Primzahlen
Auch im Bereich zwischen 1 und 100 000 000 gibt es nur diese Zwillinge (Tab. 3).
# |
#+1 |
Palindromische Primzahl |
Palindromische Primzahl |
1 |
2 |
2 |
3 |
2 |
3 |
3 |
5 |
3 |
4 |
5 |
7 |
4 |
5 |
7 |
11 |
42 |
43 |
181 |
191 |
138 |
139 |
787 |
797 |
157 |
158 |
919 |
929 |
Tab. 3: Zwillinge
Der Autor weiß nicht, ob es im Dezimalsystem weitere Zwillinge gibt.
Die Tabelle 4 zeigt die Primzahlen der Tabelle 1 im Dualsystem. Natürlich sieht es mit der Symmetrie jetzt ganz anders aus.
# |
Primzahl |
|
# |
Primzahl |
|
# |
Primzahl |
|
# |
Primzahl |
1 |
10 |
|
43 |
10111111 |
|
85 |
110110111 |
|
127 |
1011000101 |
2 |
11 |
|
44 |
11000001 |
|
86 |
110111011 |
|
128 |
1011001111 |
3 |
101 |
|
45 |
11000101 |
|
87 |
111000001 |
|
129 |
1011010111 |
4 |
111 |
|
46 |
11000111 |
|
88 |
111001001 |
|
130 |
1011011101 |
5 |
1011 |
|
47 |
11010011 |
|
89 |
111001101 |
|
131 |
1011100011 |
6 |
1101 |
|
48 |
11011111 |
|
90 |
111001111 |
|
132 |
1011100111 |
7 |
10001 |
|
49 |
11100011 |
|
91 |
111010011 |
|
133 |
1011101111 |
8 |
10011 |
|
50 |
11100101 |
|
92 |
111011111 |
|
134 |
1011110101 |
9 |
10111 |
|
51 |
11101001 |
|
93 |
111100111 |
|
135 |
1011111001 |
10 |
11101 |
|
52 |
11101111 |
|
94 |
111101011 |
|
136 |
1100000001 |
11 |
11111 |
|
53 |
11110001 |
|
95 |
111110011 |
|
137 |
1100000101 |
12 |
100101 |
|
54 |
11111011 |
|
96 |
111110111 |
|
138 |
1100010011 |
13 |
101001 |
|
55 |
100000001 |
|
97 |
111111101 |
|
139 |
1100011101 |
14 |
101011 |
|
56 |
100000111 |
|
98 |
1000001001 |
|
140 |
1100101001 |
15 |
101111 |
|
57 |
100001101 |
|
99 |
1000001011 |
|
141 |
1100101011 |
16 |
110101 |
|
58 |
100001111 |
|
100 |
1000011101 |
|
142 |
1100110101 |
17 |
111011 |
|
59 |
100010101 |
|
101 |
1000100011 |
|
143 |
1100110111 |
18 |
111101 |
|
60 |
100011001 |
|
102 |
1000101101 |
|
144 |
1100111011 |
19 |
1000011 |
|
61 |
100011011 |
|
103 |
1000110011 |
|
145 |
1100111101 |
20 |
1000111 |
|
62 |
100100101 |
|
104 |
1000111001 |
|
146 |
1101000111 |
21 |
1001001 |
|
63 |
100110011 |
|
105 |
1000111011 |
|
147 |
1101010101 |
22 |
1001111 |
|
64 |
100110111 |
|
106 |
1001000001 |
|
148 |
1101011001 |
23 |
1010011 |
|
65 |
100111001 |
|
107 |
1001001011 |
|
149 |
1101011011 |
24 |
1011001 |
|
66 |
100111101 |
|
108 |
1001010001 |
|
150 |
1101011111 |
25 |
1100001 |
|
67 |
101001011 |
|
109 |
1001010111 |
|
151 |
1101101101 |
26 |
1100101 |
|
68 |
101010001 |
|
110 |
1001011001 |
|
152 |
1101110001 |
27 |
1100111 |
|
69 |
101011011 |
|
111 |
1001011111 |
|
153 |
1101110011 |
28 |
1101011 |
|
70 |
101011101 |
|
112 |
1001100101 |
|
154 |
1101110111 |
29 |
1101101 |
|
71 |
101100001 |
|
113 |
1001101001 |
|
155 |
1110001011 |
30 |
1110001 |
|
72 |
101100111 |
|
114 |
1001101011 |
|
156 |
1110001111 |
31 |
1111111 |
|
73 |
101101111 |
|
115 |
1001110111 |
|
157 |
1110010111 |
32 |
10000011 |
|
74 |
101110101 |
|
116 |
1010000001 |
|
158 |
1110100001 |
33 |
10001001 |
|
75 |
101111011 |
|
117 |
1010000011 |
|
159 |
1110101001 |
34 |
10001011 |
|
76 |
101111111 |
|
118 |
1010000111 |
|
160 |
1110101101 |
35 |
10010101 |
|
77 |
110000101 |
|
119 |
1010001101 |
|
161 |
1110110011 |
36 |
10010111 |
|
78 |
110001101 |
|
120 |
1010010011 |
|
162 |
1110111001 |
37 |
10011101 |
|
79 |
110010001 |
|
121 |
1010010101 |
|
163 |
1111000111 |
38 |
10100011 |
|
80 |
110011001 |
|
122 |
1010100001 |
|
164 |
1111001011 |
39 |
10100111 |
|
81 |
110100011 |
|
123 |
1010100101 |
|
165 |
1111010001 |
40 |
10101101 |
|
82 |
110100101 |
|
124 |
1010101011 |
|
166 |
1111010111 |
41 |
10110011 |
|
83 |
110101111 |
|
125 |
1010110011 |
|
167 |
1111011111 |
42 |
10110101 |
|
84 |
110110001 |
|
126 |
1010111101 |
|
168 |
1111100101 |
Tab. 4: Primzahlen im Dualsystem
In der Tabelle 5 sind nun die im Dualsystem palindromischen Primzahlen zwischen 1 und 1 000 000Dez aufgelistet. Es sind mehr als im Dezimalsystem.
Es hat ein Tripel am Anfang, aber keine weiteren Paare.
# |
Primzahl |
|
# |
Primzahl |
|
# |
Primzahl |
|
# |
Primzahl |
2 |
11 |
|
3284 |
111011010110111 |
|
24535 |
1000100101010010001 |
|
32951 |
1011110110110111101 |
3 |
101 |
|
3360 |
111100111001111 |
|
24605 |
1000100110110010001 |
|
33653 |
1100001000001000011 |
4 |
111 |
|
3412 |
111101111101111 |
|
24836 |
1000101100011010001 |
|
33865 |
1100001101011000011 |
7 |
10001 |
|
6543 |
10000000000000001 |
|
24969 |
1000101111111010001 |
|
33957 |
1100001111111000011 |
11 |
11111 |
|
6966 |
10001001010010001 |
|
25017 |
1000110001000110001 |
|
34367 |
1100011010101100011 |
21 |
1001001 |
|
7092 |
10001011111010001 |
|
25065 |
1000110010100110001 |
|
34682 |
1100100010100010011 |
28 |
1101011 |
|
7199 |
10001110001110001 |
|
25289 |
1000110111110110001 |
|
34885 |
1100100111110010011 |
31 |
1111111 |
|
7337 |
10010001010001001 |
|
25504 |
1000111101011110001 |
|
34898 |
1100101000001010011 |
55 |
100000001 |
|
7461 |
10010011111001001 |
|
25649 |
1001000001000001001 |
|
35984 |
1101000011100001011 |
65 |
100111001 |
|
7648 |
10010111111101001 |
|
25705 |
1001000010100001001 |
|
36055 |
1101000101010001011 |
86 |
110111011 |
|
7651 |
10011000000011001 |
|
25747 |
1001000011100001001 |
|
36315 |
1101001011101001011 |
196 |
10010101001 |
|
7762 |
10011010101011001 |
|
25781 |
1001000100010001001 |
|
36951 |
1101011011101101011 |
231 |
10110101101 |
|
7928 |
10011110001111001 |
|
26243 |
1001001111111001001 |
|
37283 |
1101100011100011011 |
248 |
11000100011 |
|
8131 |
10100010101000101 |
|
26404 |
1001010011100101001 |
|
37442 |
1101100111110011011 |
256 |
11001010011 |
|
8165 |
10100011011000101 |
|
26633 |
1001011001001101001 |
|
37488 |
1101101001001011011 |
277 |
11011111011 |
|
8287 |
10100110001100101 |
|
26763 |
1001011100011101001 |
|
37646 |
1101101101011011011 |
282 |
11100100111 |
|
8344 |
10100111011100101 |
|
27002 |
1001100010100011001 |
|
37708 |
1101101110111011011 |
289 |
11101010111 |
|
8391 |
10101000100010101 |
|
27182 |
1001100110110011001 |
|
38105 |
1101111001001111011 |
654 |
1001100011001 |
|
8424 |
10101001010010101 |
|
27232 |
1001101000001011001 |
|
38206 |
1101111011101111011 |
684 |
1001111111001 |
|
8552 |
10101100000110101 |
|
27615 |
1001110001000111001 |
|
38368 |
1101111111111111011 |
691 |
1010001000101 |
|
8932 |
10110100100101101 |
|
27746 |
1001110100010111001 |
|
38410 |
1110000001000000111 |
733 |
1010110110101 |
|
9214 |
10111010101011101 |
|
27938 |
1001111001001111001 |
|
38460 |
1110000010100000111 |
773 |
1011011101101 |
|
9269 |
10111011111011101 |
|
28223 |
1001111111111111001 |
|
38661 |
1110000111110000111 |
782 |
1011101011101 |
|
9354 |
10111101110111101 |
|
28493 |
1010000110110000101 |
|
39631 |
1110100000000010111 |
808 |
1100001000011 |
|
9465 |
11000000100000011 |
|
28720 |
1010001100011000101 |
|
39839 |
1110100101010010111 |
878 |
1101010101011 |
|
9500 |
11000001010000011 |
|
28861 |
1010001111111000101 |
|
40452 |
1110110101010110111 |
967 |
1110110110111 |
|
9614 |
11000011111000011 |
|
28969 |
1010010010100100101 |
|
40517 |
1110110110110110111 |
985 |
1111001001111 |
|
9676 |
11000101010100011 |
|
29403 |
1010011101011100101 |
|
40925 |
1111000001000001111 |
1000 |
1111011101111 |
|
9947 |
11001011011010011 |
|
29677 |
1010100100010010101 |
|
41046 |
1111000100010001111 |
1028 |
1111111111111 |
|
10328 |
11010100000101011 |
|
29824 |
1010100111110010101 |
|
41471 |
1111001110111001111 |
1997 |
100001111100001 |
|
10673 |
11011011111011011 |
|
29877 |
1010101001001010101 |
|
41512 |
1111001111111001111 |
2074 |
100011010110001 |
|
10794 |
11011110101111011 |
|
30157 |
1010110000000110101 |
|
41975 |
1111011011101101111 |
2096 |
100011101110001 |
|
10941 |
11100010001000111 |
|
30377 |
1010110101010110101 |
|
42398 |
1111100110110011111 |
2203 |
100101111101001 |
|
10997 |
11100011011000111 |
|
30521 |
1010111001001110101 |
|
42617 |
1111101100011011111 |
2225 |
100110010011001 |
|
11100 |
11100101110100111 |
|
30791 |
1011000000000001101 |
|
42657 |
1111101101011011111 |
2241 |
100110101011001 |
|
11251 |
11101001010010111 |
|
30822 |
1011000001000001101 |
|
43297 |
1111111101011111111 |
2378 |
101001010100101 |
|
11499 |
11101110101110111 |
|
30990 |
1011000101010001101 |
|
43390 |
1111111111111111111 |
2519 |
101100000001101 |
|
11633 |
11110001110001111 |
|
31057 |
1011000110110001101 |
|
|
|
2532 |
101100010001101 |
|
11649 |
11110010001001111 |
|
31112 |
1011001000001001101 |
|
|
|
2553 |
101100101001101 |
|
11755 |
11110100100101111 |
|
31331 |
1011001101011001101 |
|
|
|
2623 |
101110000011101 |
|
11879 |
11110111011101111 |
|
31387 |
1011001110111001101 |
|
|
|
2673 |
101110111011101 |
|
12017 |
11111010101011111 |
|
31471 |
1011010001000101101 |
|
|
|
2835 |
110010010010011 |
|
12251 |
11111111111111111 |
|
31558 |
1011010011100101101 |
|
|
|
2854 |
110010101010011 |
|
23043 |
1000000001000000001 |
|
31717 |
1011010111110101101 |
|
|
|
2977 |
110101000101011 |
|
23562 |
1000001101011000001 |
|
31779 |
1011011001001101101 |
|
|
|
3036 |
110110010011011 |
|
23628 |
1000001110111000001 |
|
31955 |
1011011101011101101 |
|
|
|
3069 |
110110111011011 |
|
24000 |
1000011000001100001 |
|
32262 |
1011100101010011101 |
|
|
|
3076 |
110111000111011 |
|
24220 |
1000011101011100001 |
|
32417 |
1011101001001011101 |
|
|
|
3137 |
111000010000111 |
|
24316 |
1000011111111100001 |
|
32509 |
1011101011101011101 |
|
|
|
3220 |
111001111100111 |
|
24461 |
1000100011100010001 |
|
32732 |
1011110001000111101 |
|
|
|
Tab. 5: Palindromische Primzahlen im Dualsystem
Auch im Bereich zwischen 1 und 100 000 000Dez gibt es nur diese zwei Zwillingspaare (Tab. 6).
# |
#+1 |
Palindromische Primzahl |
Palindromische Primzahl |
2 |
3 |
11 |
101 |
3 |
4 |
101 |
111 |
Tab. 6: Zwillinge im Dualsystem
Die Abbildung 1 zeigt das für die Berechnung der Tabelle 6 verwendete Programm (Maple):
restart: with(StringTools):
j := 0:
for n from 1 to 100000000 do
if isprime(n) then
j := j + 1 :
p[j] := convert(n, binary):
end:
end:
J := j:
for m from 1 to J-1 do
if IsPalindrome(convert(p[m], string)) and IsPalindrome(convert(p[m+1],
string)) then
print(m, m+1, p[m], p[m+1]):
end:
end:
Abb. 1: Programm
Weblink
Thomas Jahre: Aufgabe der Woche
https://www.schulmodell.eu/aufgabe-der-woche.html