Hans Walser, [20111203a]
Parabelhalbierung
Anregung: J. H., A.
Das blaue
FlŠchenstŸck zwischen dem Parabelbogen und der x-Achse
soll halbiert werden.
Das blaue FlŠchenstŸck soll halbiert werden
Das blaue FlŠchenstŸck hat den FlŠcheninhalt:
Vertikaler Schnitt
FŸr die
Schnittgerade erhalten wir die
Bedingung:
Das Problem entspricht dem klassischen WŸrfelverdoppelungsproblem.
Horizontaler Schnitt
Den
Schnittpunkt der horizontalen Schnittgeraden mit der Parabel habe die
Koordinaten . Wir erhalten die FlŠchenbedingung:
Daraus ergibt sich die kubische Gleichung:
Diese hat
die drei Lšsungen . Die in unserem Problem relevante Lšsung ist
.
Schnitt mit Ursprungsgerade
Den
Schnittpunkt der Ursprungsgeraden mit der Parabel habe die Koordinaten . Die Ursprungsgerade hat daher die Steigung
und die Gleichung
. Das untere FlŠchenstŸck setzt sich aus einem StŸck FlŠche
unter der Parabel (bis
) und einem Trapez zusammen. Wir erhalten die FlŠchenbedingung:
Daraus ergibt sich die kubische Gleichung:
Diese hat
die drei Lšsungen . Es sind keine ãschšneÒ Lšsungen. Die in unserem Problem
relevante Lšsung ist
.
Schnitt mit Ecktransversale unten rechts
Den
Schnittpunkt der Ecktransversalen mit der Parabel habe die Koordinaten . Wir erhalten damit die FlŠchenbedingung:
Daraus ergibt sich die kubische Gleichung:
Diese hat
die drei Lšsungen . Es sind keine ãschšneÒ Lšsungen. Die in unserem Problem
relevante Lšsung ist
.
Schnitt mit Ecktransversale oben rechts
Die Sache
ist einfach. Die Ecktransversale hat die Gleichung .
Schnitt mit Ecktransversale oben links
Den
Schnittpunkt der Ecktransversalen mit der Parabel habe die Koordinaten . Die Ecktransversale hat dann die Gleichung:
Wir erhalten die FlŠchenbedingung:
Daraus ergibt sich die Gleichung vierten Grades:
Diese hat
die Lšsungen . Die in unserem Problem relevante Lšsung ist
.
Die
Beispiele 2.4 und 2.6 zeigen, dass die Diagonale von links oben nach rechts
unten die FlŠche nicht halbiert. Hingegen erhalten wir den Goldenen Schnitt. Die
Diagonale hat die Gleichung . FŸr den Schnittpunkt
mit der Parabel
ergibt sich
.
Diagonalenschnitt
Die rote
FlŠche ist , also kleiner als die HŠlfte von
, die gelbe FlŠche
.
Wir
zerschneiden vertikal wie in Beispiel 2.1, aber mit zwei parallelen
Schnittgeraden im Abstand . Der FlŠcheninhalt zwischen den beiden vertikalen
Schnittgeraden (in der Abbildung gelb) soll gleich der Summe der FlŠcheninhalte
der beiden Šu§eren Teile (rot) sein. Die beiden Schnittlinien haben die Gleichungen
beziehungsweise
.
Doppelschnitt
Die FlŠchenbedingung liefert:
Bei dieser Gleichung fŠllt der kubische Anteil heraus und es bleibt eine quadratische Gleichung Ÿbrig:
Diese hat also positive Lšsung:
FŸr die zweite Schnittgerade erhalten wir:
Die
beiden Schnittgeraden haben also die Gleichungen beziehungsweise
. Wir erhalten je die HŠlfte des ãkleinenÒ und des ãgro§enÒ
Goldenen Schnittes.
Wir
arbeiten mit der Parabel . Der blaue FlŠcheninhalt der Figur ist
.
Variante
Wir schneiden
mit einer Geraden .
Schnitt mit Ursprungsgeraden
FŸr den Schnittpunkt mit der Parabel erhalten wir die Bedingung:
Diese
quadratische Gleichung hat die Lšsungen . Wir fŸhren daher die Notation
ein. Die
Schnittgerade hat nun also die Steigung
. Geometrisch ist p
also der Abschnitt am rechten Quadratrand von der Ecke rechts oben bis hinunter
zur Schnittgeraden.
Der
Schnittpunkt der Schnittgeraden mit der Parabel hat die Koordinaten . FŸr den roten FlŠchenanteil
ergibt sich:
Wenn die Schnittlinie nun die ParabelflŠche halbieren soll, haben wir die Bedingung:
Das ist wiederum eine Variante des klassischen WŸrfelverdoppelungsproblem.
Wir
schneiden mit zwei Ursprungsgeraden, deren Steigungen sich um unterscheiden
sollen. Dann unterscheiden sich auch die p-Werte
um
. Und es soll die FlŠche zwischen den beiden Ursprungsgeraden
die halbe ParabelflŠche ausmachen.
Doppelschnitt
Die FlŠchenbedingung liefert:
In dieser kubischen Gleichung fŠllt der kubische Anteil weg und es bleibt eine quadratische Gleichung Ÿbrig:
Diese hat die positive Lšsung:
Die obere
Schnittgerade hat also die Steigung , die untere Schnittgerade die Steigung
.