Hans Walser, [20180706]
Parabelnormalen
Von einem beliebigen Punkt A aus sollen die Normalen an eine gegebene Parabel p gelegt werden. Wie viele Lšsungen gibt es?
Abb. 1: Ausgangspunkt im Innern der Parabel
Abb. 2: Ausgangspunkt au§erhalb der Parabel
Abb. 3: Ausgangspunkt auf der Parabel
Abb.4: Ausgangspunkt auf der Symmetrieachse
Die Frage ist natŸrlich, in welchen FŠllen fŸr die Lage des Ausgangspunktes A es wie viele Lšsungen gibt.
Dem Ausgangspunkt A geben wir die Koordinaten . Weiter sei ein laufender Punkt auf der Standardparabel p.
FŸr eine von A ausgehende Normale (Lot) auf p muss die Distanz oder (rechnerisch einfacher) das Quadrat davon extremal sein. Wir haben also die Bedingung:
(1)
Daraus ergibt sich:
(2)
Oder umgeformt:
(3)
Wir haben die kubische Gleichung (3) nach x aufzulšsen.
Die Abbildungen 5 bis 8 zeigen die grafische Auflšsung der Gleichung (3) entsprechend den Beispielen der Abbildungen 1 bis 4.
Abb. 5: Ausgangspunkt im Innern der Parabel
Abb. 6: Ausgangspunkt au§erhalb der Parabel
Abb. 7: Ausgangspunkt auf der Parabel
Abb. 8: Ausgangspunkt auf der Symmetrieachse
Zur Darstellung der Lšsungen der allgemeinen Gleichung (3) verwenden wir die sogenannte Diskriminante D:
(4)
Weiter fŸhren wir folgende AbkŸrzungen ein
(5)
sowie:
(6)
Damit kšnnen wir die Lšsungen von (3) schreiben:
(7)
Die Diskriminante D gibt Auskunft Ÿber das Lšsungsverhalten:
á D > 0: Genau eine reelle Lšsung (Abbildungen 1a bis 8a)
á D = 0: Interessanter Sonderfall (Abbildungen 1b bis 8b). In der Regel zwei Lšsungen
á D < 0: Drei reelle Lšsungen (Abbildungen 1c bis 8c)
Wo liegen die Punkte A mit D = 0? Also:
(8)
Die Abbildung 9 zeigt einen Implicitplot von (8), zusammen mit der Standardparabel p.
Abb. 9: Diskriminante null
Die rote Kurve ist die Evolute e der Parabel p. Die Evolute e der Standardparabel p hat die Parameterdarstellung:
(9)
Durch Einsetzen in (8) kšnnen wir nachweisen, dass wir es tatsŠchlich mit der Evolute zu tun haben.
FŸr Ausgangspunkte A oberhalb der Evolute e haben wir eine negative Diskriminante und damit drei Normalen auf die Parabel p.
FŸr Ausgangspunkte A unterhalb der Evolute e haben wir eine positive Diskriminante und damit genau eine Normale auf die Parabel p.
Die Abbildung 10 zeigt die Niveaulinien der Diskriminante fŸr die Niveaus –200, –180, ... , 180, 200.
Abb. 10: Niveaulinien
Websites
Hans Walser: Parabel, Evolute und das DIN-Format (abgerufen 07.07.2018):
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Parabelevolute_DIN/Parabelevolute_DIN.htm