Hans Walser, [20180706]

Parabelnormalen

1     Worum geht es?

Von einem beliebigen Punkt A aus sollen die Normalen an eine gegebene Parabel p gelegt werden. Wie viele Lšsungen gibt es?

2     Beispiele

Abb. 1: Ausgangspunkt im Innern der Parabel

Abb. 2: Ausgangspunkt au§erhalb der Parabel

Abb. 3: Ausgangspunkt auf der Parabel

Abb.4: Ausgangspunkt auf der Symmetrieachse

Die Frage ist natŸrlich, in welchen FŠllen fŸr die Lage des Ausgangspunktes A es wie viele Lšsungen gibt.

3     Berechnung

Dem Ausgangspunkt A geben wir die Koordinaten . Weiter sei  ein laufender Punkt auf der Standardparabel p.

FŸr eine von A ausgehende Normale (Lot) auf p muss die Distanz  oder (rechnerisch einfacher) das Quadrat davon extremal sein. Wir haben also die Bedingung:

 

                                                                       (1)

 

 

Daraus ergibt sich:

 

                                                                               (2)

 

 

Oder umgeformt:

 

                                                                                               (3)

 

 

Wir haben die kubische Gleichung (3) nach x aufzulšsen.

3.1    Beispiele

Die Abbildungen 5 bis 8 zeigen die grafische Auflšsung der Gleichung (3) entsprechend den Beispielen der Abbildungen 1 bis 4.

Abb. 5: Ausgangspunkt im Innern der Parabel

Abb. 6: Ausgangspunkt au§erhalb der Parabel

Abb. 7: Ausgangspunkt auf der Parabel

Abb. 8: Ausgangspunkt auf der Symmetrieachse

3.2    Allgemein

Zur Darstellung der Lšsungen der allgemeinen Gleichung (3) verwenden wir die sogenannte Diskriminante D:

 

                                                                            (4)

 

 

Weiter fŸhren wir folgende AbkŸrzungen ein

 

                   (5)

 

 

sowie:

                                                                                                                       (6)

 

 

Damit kšnnen wir die Lšsungen von (3) schreiben:

 

                                                                                     (7)

 

 

 

 

4     Diskriminante und Evolute

Die Diskriminante D gibt Auskunft Ÿber das Lšsungsverhalten:

á            D > 0: Genau eine reelle Lšsung (Abbildungen 1a bis 8a)

á            D = 0: Interessanter Sonderfall (Abbildungen 1b bis 8b). In der Regel zwei Lšsungen

á            D < 0: Drei reelle Lšsungen (Abbildungen 1c bis 8c)

Wo liegen die Punkte A mit D = 0? Also:

 

                                                                       (8)

 

 

Die Abbildung 9 zeigt einen Implicitplot von (8), zusammen mit der Standardparabel p.

Abb. 9: Diskriminante null

Die rote Kurve ist die Evolute e der Parabel p. Die Evolute e der Standardparabel p hat die Parameterdarstellung:

 

                                                                                                             (9)

 

 

 

Durch Einsetzen in (8) kšnnen wir nachweisen, dass wir es tatsŠchlich mit der Evolute zu tun haben.

FŸr Ausgangspunkte A oberhalb der Evolute e haben wir eine negative Diskriminante und damit drei Normalen auf die Parabel p.

FŸr Ausgangspunkte A unterhalb der Evolute e haben wir eine positive Diskriminante und damit genau eine Normale auf die Parabel p.

Die Abbildung 10 zeigt die Niveaulinien der Diskriminante fŸr die Niveaus –200, –180, ... , 180, 200.

Abb. 10: Niveaulinien

Websites

Hans Walser: Parabel, Evolute und das DIN-Format (abgerufen 07.07.2018):

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Parabelevolute_DIN/Parabelevolute_DIN.htm