Hans Walser, [20210531], [20210607]
Paraboloid-Stern
1 Worum geht es?
Der Paraboloid-Stern, das Rhombendodekaeder, das Oktaeder und das Oktaeder mit dualem WŸrfel haben in allen drei Rissen dieselbe Kontur.
2 Paraboloid
2.1 Definition
Das einschalige Paraboloid (Abb. 1 und 2) ist der Funktionsgraf von
(1)
bei gleicher Skalierung auf allen drei Koordinatenachsen.
Abb. 1: Paraboloid
Man beachte, dass die positive x-Achse nach rechts vorne und die positive y-Achse nach rechts hinten verlaufen.
Abb. 2: Paraboloid
FŸr das Paraboloid erhalten wir das Volumen:
(2)
2.2 Ebene Schnitte
Senkrechte Schnitte parallel zur x-Achse sind Geraden (Abb. 3). Wir haben also eine Geradenschar. Die FlŠche ist eine RegelflŠche. Ihre Gau§sche FlŠchenkrŸmmung ist negativ. Die FlŠche kann daher nicht in die Ebene abgewickelt werden.
Aus SymmetriegrŸnden gibt es noch eine zweite Geradenschar auf der FlŠche, nŠmlich die senkrechten Schnitte parallel zur y-Achse.
Abb. 3: Senkrechte Schnitte
2.3 Niveaulinien
Die Niveaulinien sind gleichseitige Hyperbeln (Abb. 4 und 5).
Abb. 4: Niveaulinien
Abb. 5: Sicht von oben
2.4 Risse
Die Abbildung 6 gibt Grund-, Auf- und Seitenriss des Paraboloides der Abbildung 1.
Abb. 6: Risse
3 Eine schiefe Pyramide
Die schiefe Pyramide der Abbildungen 7 und 8 hat dieselben Eckpunkte wie der in der Abbildung 1 gegebene Kšrper. Sie hat eine quadratische GrundflŠche und die Spitze senkrecht Ÿber einer Quadratecke.
Abb. 7: Schiefe Pyramide
Die Pyramide fŸllt volumenmŠ§ig genau einen Drittel des in der Abbildung 7 eingezeichneten KoordinatenwŸrfels. Dies kann wie folgt eingesehen werden:
Geometrische †berlegung: Wir kšnnen je eine Pyramide mit dem Einheitsquadrat in der x,y-Ebene (Abb. 7), in der y,z-Ebene und in der zx-Ebene bauen. Diese drei Pyramiden fŸllen den EinheitswŸrfel lŸckenlos und Ÿberlappungsfrei.
Rechnung: Die NiveauflŠchen der Pyramide der Abbildung 7 auf der Hšhe z sind Quadrate mit der SeitenlŠnge (1 – z). Daher ergibt sich das Volumen:
(3)
Abb. 8: Schiefe Pyramide
Die drei Risse (Abb. 9) haben dieselben Konturen wie die Risse der Abbildung 6.
Abb. 9: Risse
4 Zusammensetzungen
4.1 Vier Paraboloide
Wir setzen vier Paraboloide der Abbildung 1 zusammen (Abb. 10 und 11).
Abb. 10: Vier Paraboloide
Wegen (2) haben diese vier Paraboloide zusammen das Volumen 1.
Abb. 11: Vier Paraboloide
Die Abbildung 12 zeigt die drei Risse.
Abb. 12: Risse
4.2 Vier schiefe Pyramiden
Nun machen wir dasselbe Spielchen mit schiefen Pyramiden der Abbildung 7. Wir erhalten eine gerade Pyramide (Abb. 13 und 14).
Abb. 13: Pyramide
Wegen (3)
hat diese Pyramide das Volumen 
.
Abb. 14: Pyramide
Diese Pyramide ist ein alter Bekannter. Wir kšnnen einen WŸrfel vom Mittelpunkt aus in sechs Pyramiden er Abbildung 13 zerlegen (Abb. 15). Die Hšhe der Pyramide ist daher halb so gro§ wie die KantenlŠnge am Boden. Die SeitenflŠchen haben gegenŸber dem Boden einen Neigungswinkel 45¡.
Abb. 15: Pyramide im WŸrfel
Die Abbildung 16 gibt die Risse der Pyramide.
Abb. 16: Risse
Wir sehen die gleichen Konturen wie bei der Abbildung 12.
5 Auf dem WŸrfel
5.1 Paraboloid
Wir kšnnen die vier Paraboloide der Abbildung 10 auf einen WŸrfel setzen (Abb. 17).
Abb. 17: Auf dem WŸrfel
NatŸrlich kšnnen wir auf allen sechs Seiten des WŸrfels vier Paraboloide ansetzen. Dies ergibt den Paraboloid-Stern (Abb. 18 und 19). Er hat 14 Spitzen.
Abb. 18: Paraboloid-Stern
Das Volumen des Paraboloid-Sterns setzt sich aus den Volumina des WŸrfels und der angesetzten Pyramiden zusammen. Wegen (2) ergibt sich das Gesamtvolumen 14.
Abb. 19: Paraboloid-Stern
Die Abbildung 20 zeigt die drei Risse. Worin unterscheiden sich die drei Risse?
Abb. 20: Risse
5.2 Rhombendodekaeder
Dasselbe Spielchen mit der Pyramide der Abbildung 13 gibt das sogenannte Rhombendodekaeder (Abb. 21 und 22). Die zwšlf SeitenflŠchen sind Rhomben, in unserem Beispiel durch die lange Diagonale farblich zweigeteilt. Das Rhombendodekaeder ist die konvexe HŸlle des Paraboloid-Sternes.
Abb. 21: Rhombendodekaeder
Wegen (3) ist das Gesamtvolumen 16, also das Doppelte des WŸrfelvolumens.
Abb. 22: Rhombendodekaeder
Die Abbildung 23 zeigt die drei Risse. Wegen der offenbar nicht optimalen Beleuchtung sind nicht alle Binnenkanten erkennbar.
Abb. 23: Risse
Wir haben dieselben Konturen wie in der Abbildung 20.
6 Weitere Beispiele
6.1 Oktaeder
Abb. 24: Oktaeder
Abb. 25: Oktaeder
Abb. 26: Risse
6.2 Oktaeder mit dualem WŸrfel
Abb. 27: Oktaeder mit dualem WŸrfel
Abb. 28: Oktaeder mit dualem WŸrfel
Das Oktaeder mit dualem WŸrfel hat als konvexe HŸlle das Rhombendodekaeder.
Abb. 29: Risse
Die Risse der Abbildungen 20 (Paraboloid-Stern), 23 (Rhombendodekaeder), 26 (Oktaeder) und 29 (Oktaeder mit dualem WŸrfel) haben alle dieselben Konturen.
Websites
Hans-JŸrgen Elschenbroich: Konoid
https://www.geogebra.org/m/y57fhddh
Hans-JŸrgen Elschenbroich: Konoid 2
https://www.geogebra.org/m/gqfnnhfe
Hans-JŸrgen Elschenbroich: Konoidmantel
https://www.geogebra.org/m/y57fhddh
Hans Walser: Dreitafelprojektion
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/D/Dreitafelprojektion/Dreitafelprojektion.htm
Hans Walser: Hyperboloid-Stern
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/H/Hyperboloid-Stern/Hyperboloid-Stern.htm
Hans Walser: Pyramidoid
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyramidoid/Pyramidoid.htm
Hans Walser: Rohrpost
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/R/Rohrpost/Rohrpost.htm
Hans Walser: SphŠroid
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Sphaeroid/Sphaeroid.htm