Hans Walser, [20130912a]
Hyperbolisches Paraboloid und die Ableitung der Quadratfunktion
Anhand eines rŠumlichen Hyperbolischen Paraboloid-Modells wird die Ableitung der Quadratfunktion hergeleitet.
Beat lernt in der
Schule, dass durch die Gleichung ein hyperbolisches
Paraboloid beschrieben wird (Abb. 1).
Abb. 1: Hyperbolisches Paraboloid
Sofort sieht er, dass
es in der Ebene eine nach oben
offene Parabel gibt (Abb. 2). Die Parabel hat die Gleichungen
.
Abb. 2: Konturparabel
Entsprechend gibt es
eine nach unten offene Parabel mit den Gleichungen und
(Abb. 3).
Abb. 3: Untere Konturparabel
In der Abbildung 4 sind die beiden Parabeln schwarz eingezeichnet.
Abb. 4: Die beiden Parabeln
Nun denkt sich Beat folgendes Modell aus: Er biegt zwei Lochstreifen parabelfšrmig und schraubt sie in der Mitte orthogonal zusammen so dass eine Parabel nach oben und die andere nach unten offen ist. Dann verbindet er mit BindfŠden (Abb. 5).
Abb. 5: Modell von Beat
Die Abbildung 6 zeigt einen elektronischen Nachbau des Modells.
Abb. 6: Modell von Beat
Die Abbildung 7 zeigt wiederum die obere Profilparabel.
Abb. 7: Profilparabel
Nun interpretiert Beat
die Figur zweidimensional in einem x,z-Koordinatensystem.
Die blauen und gelben BindfŠden sind offensichtlich Tangenten an die Parabel . Die Tangente im BerŸhrpunkt
schneidet die z-Achse aus SymmetriegrŸnden im Punkt
. Sie hat also die Steigung
. Daraus ergibt sich, dass die Funktion
die Ableitung
hat.