Hans Walser, [20240411]
Parallelogrammfiguren
Verallgemeinerung von Parallelogramm, Parallelepiped (Spat)
Wir beginnen mit n Vektoren v[0], .. , v[n – 1] in zyklischer Indizierung, also modulo n. Diese Vektoren setzen wir bei einem Startpunkt an.
Im folgenden Beispiel arbeiten wir mit den 5 Vektoren:
v[0] := [2,1,3]:
v[1] := [1,3,1]:
v[2] := [-2,3,2]:
v[3] := [0,-3,3]:
v[4] := [2,-3,2]:
Nun ergänzen wir aufeinanderfolgende Vektoren zu einem Parallelogramm (Abb. 1).
Abb. 1: Parallelogramme
In die Lücken zwischen zwei Parallelogrammen fügen wir je ein zweites Parallelogramm ein (blau in Abb. 2).
Abb. 2: Zweiter Ring von Parallelogrammen
Die Abbildung 3 zeigt den nächsten Schritt.
Abb. 3: Dritter Ring von Parallelogrammen
Beim vierten Schritt (allgemein bei Schritt n – 1) schließ sich die Figur (Abb. 4 und Abb. 5).
Abb. 4: Schließungsfigur
Abb. 5: Schließungsfigur
Die Figur ist punktsymmetrisch. Das Symmetriezentrum ist gegeben durch die Hälfte der Summe der n Startvektoren. In unserem Beispiel ist:
Symmetriezentrum := [3/2, 1/2, 11/2]
Wir ändern die zyklische Anordnung der Vektoren wie folgt:
v[0] := [2,1,3]:
v[1] := [-2, 3, 2]:
v[2] := [2, -3, 2]:
v[3] := [1, 3, 1]:
v[4] := [0, -3, 3]:
Damit ergibt sich die Schließungsfigur der Abbildungen 6 und 7. Die Figur hat Selbstdurchdringungen.
Abb. 6: Andere zyklische Reihenfolge
Abb. 7: Selbstdurchdringungen
Im folgenden Beispiel arbeiten wir wieder mit den 5 Vektoren:
v[0] := [2,1,3]:
v[1] := [1,3,1]:
v[2] := [-2,3,2]:
v[3] := [0,-3,3]:
v[4] := [2,-3,2]:
Wir normieren nun aber die Vektoren auf die Länge 1. Damit ergibt sich eine Figur mit Rhomben (Abb. 8 und 9).
Abb. 8: Normierung
Abb. 9: Rhomben
Zusätzlich zur Normierung wählen wir die Vektoren mit einer Drehsymmetrie (Abb. 10 und Abb. 11).
Abb. 10: Drehsymmetrie
Abb. 11: Drehsymmetrie
Im Beispiel der Abbildungen 12 und 13 sind die Vektoren der Abbildungen 10 und 11 zyklisch anders angeordnet.
Abb. 12: Andere Anordnung
Abb. 13: Andere Anordnung