Hans Walser, [20250732]

Parameterdarstellung der Ellipse

Anfrage: R. G.

1 Worum es geht

Herleitung der Parameterdarstellung der Ellipse

2 Kreis

2.1 Definition von Kosinus und Sinus am Einheitskreis

Zu einem Winkel t werden cos(t) und sin(t) gemäß Abbildung 1 definiert. Diese Definitionen gelten auch für größere Winkel t. Für zum Beispiel stumpfe Winkel t ist dann cos(t) negativ.

Abb. 1: Definition von Kosinus und Sinus

Das gelbe rechtwinklige Dreieck hat die Hypotenuse 1. Wegen dem Satz von Pythagoras gilt daher:

cos(t)² + sin(t)² = 1²

Also:

cos(t)² + sin(t)² = 1

Dies gilt auch, wenn die einzelnen Kosinus- oder Sinuswerte negativ sind.

2.2 Parameterdarstellung des Einheitskreises

Nun drehen wir den Gedankengang um. Zu jedem Wert von t zeichnen wir den Punkt mit den Koordinaten:

x = cos(t)

y = sin(t)

Die Abbildung 2 zeigt die Situation für zunehmende Werte von t. Die Werte von t sind eigentlich Winkel, können in unserem Zusammenhang aber auch als Zeit gedeutet werden (daher die Variable t). Der Winkel t ist im Bogenmaß angegeben (2π entspricht 360°). Er erscheint als Winkel zwischen der positiven x-Achse und der blauen Verbindungsstrecke vom Mittelpunkt zum jeweiligen Zeichenpunkt.

Abb. 2: Parameterdarstellung des Einheitskreises

Wenn man nur am fertigen Einheitskreis interessiert ist, lässt man die kinematische Herleitung weg und gibt nur das Schlussbild an.

2.3 Beliebiger Kreis

Zu jedem Wert von t zeichnen wir nun den Punkt mit den Koordinaten:

x = r cos(t)

y = r sin(t)

Dabei ist r eine beliebige positive Zahl. Geometrisch bedeutet dies, dass sowohl in der x-Richtung wie in der y-Richtung mit demselben Faktor r vergrößert (oder bei r < 1 entsprechend verkleinert) wird. Damit wird der Einheitskreis zum Kreis mit dem Radius r verändert. In der Abbildung 3 ist r = 1.5 gewählt.

Abb. 3: Beliebiger Kreis

2.4 Kreisgleichung

Wir schreiben die beiden Gleichungen

x = r cos(t)

y = r sin(t)

in der Form:

Nun quadrieren wir auf beiden Seiten

und addieren:

Wegen cos(t)² + sin(t)² = 1 ergibt sich:

Dies ist die Gleichung für den Kreis mit Radius r und dem Koordinatennullpunkt als Zentrum. Der Parameter t ist eliminiert worden.

2.5 Vergleich und Unterschied

Die Parameterdarstellung gibt die Entstehung des Kreises an, die Koordinatengleichung beschreibt den fertigen Kreis.

3 Parameterdarstellung der Ellipse

3.1 Ungleiche Verzerrung

Zu jedem Wert von t zeichnen wir nun den Punkt mit den Koordinaten:

x = a cos(t)

y = b sin(t)

Wir verzerren also ungleich. In der x-Richtung vergrößern oder verkleinern wir mit dem Faktor a, in der y-Richtung mit dem Faktor b. Wenn die beiden Faktoren verschieden sind, ergibt sich kein Kreis mehr, sondern eine Ellipse mit den Halbachsen a und b. In der Abbildung 4 wurde a = 1.5 und b = 0.8 gewählt.

Der Winkel t ist nun, von Sonderfällen abgesehen, nicht mehr der Winkel zwischen der positiven x-Achse und der blauen Verbindungsstrecke vom Mittelpunkt zum jeweiligen Zeichenpunkt.

Abb. 4: Parameterdarstellung der Ellipse

3.2 Koordinatengleichung der Ellipse

Wir können wie beim Kreis den Parameter t eliminieren. Dazu formen wir die Gleichungen

x = a cos(t)

y = b sin(t)

um:

Quadrieren und addieren liefert:

Dies ist die Koordinatengleichung der Ellipse.

4 Ellipsenzirkel

Die Abbildung 5 zeigt ein auf der Parameterdarstellung der Ellipse beruhendes mechanisches Zeichengerät für die Ellipse.

Abb. 5: Ellipsenzirkel