Hans Walser, [20250701]

Parametertransformation

1 Worum es geht

Spiel mit Parametern im Umfeld pythagoreischer Dreiecke.

2 Pythagoreische Dreiecke

Wir verwenden die klassische Parametrisierung der pythagoreischen Dreiecke.

Zu u > v > 0, u, v ∈ ℕ, mod(u – v, 2) = 1, gcd(u, v) = 1, setzen wir:

a = u² – v² b = 2uv c = u² + v²

Damit sind a, b, c die Seiten eines primitiven pythagoreischen Dreiecks.

Beispiel: Für u = 2 und v = 1 erhalten wir a = 3, b = 4 und c = 5 (Abb. 1). Die beiden Parameterwerte sind im Innern angeschrieben.

Abb. 1: Pythagoreisches Dreieck

3 Drehung des Parameterpunktes

Nun drehen wir den Parameterpunkt [u, v] um den Ursprung um den Winkel t:

u := u cos(t) – v sin(t):

v := u sin(t) + v cos(t):

In der Abbildung 2 wird um Vielfache von π/4 gedreht.

Nach einem Umlauf (Drehung des Parameterpunktes um π) haben wir wieder dieselbe Position des Dreiecks, die Parameterdaten aber mit entgegengesetzten Vorzeichen, nach zwei Umläufen (Drehung des Parameterpunktes um 2π) wieder dieselben Parameterdaten. Die entstehenden Dreiecke sind kongruent, jedes zweite Parameterpaar ist irrational.

Abb. 2: Drehen des Parameterpunktes um Vielfache von π/4

In der Abbildung 3 werden die Parameterwerte in Schritten von π/100 gedreht. Die Dreiecke sind nicht mehr kongruent. Die Parameterdaten sind gerundet.

Abb. 3: Kleinschrittiges Drehen

Weblinks

Hans Walser: Winkel in pythagoreischen Dreiecken

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Winkel_in_pythagoreischen_Dreiecken/Winkel_in_pythagoreischen_Dreiecken.html