Hans Walser, [20191105]
ParitŠt
Anregung: Satz von Eddy
1 Worum geht es?
Geometrisches Problem zum Thema ParitŠt.
2 Problemstellung
Ist folgende Aussage wahr?
Jede Gerade durch den Schwerpunkt eines regelmŠ§igen n-Eckes halbiert dieses flŠchenmŠ§ig.
3 Antwort
Richtig fŸr gerades n, falsch fŸr ungerades n.
4 Bearbeitung
4.1 Gerades n
Punktsymmetrie. Die beiden Teile sind nicht nur flŠchenmŠ§ig gleich gro§, sondern sogar kongruent.
4.2 Ungerades n
ZunŠchst ein exemplarisches Gegenbeispiel. Wir unterteilen ein gleichseitiges Dreieck in 9 kongruente Teildreiecke (Abb. 1). Die senkrechte Symmetrieachse halbiert das Dreieck flŠchenmŠ§ig. Bei der waagerechten Geraden durch den Schwerpunkt haben wir oben vier Teile und unten fŸnf Teile.
Abb. 1: Gleichseitiges Dreieck
Nun zur allgemeinen Situation mit ungerader Eckenzahl. Die Abbildung 2 zeigt zwar die Situation fŸr das regelmŠ§ige FŸnfeck, die †berlegungen dazu gelten aber fŸr alle regelmŠ§igen Vielecke ungerader Eckenzahl u > 1.
Wir setzen das Vieleck bodenstŠndig, das hei§t mit einer horizontalen Seite unten und einer Spitze oben.
Abb. 2: Ungerade Eckenzahl
Die
Symmetrieachse durch die Spitze halbiert das Vieleck flŠchenmŠ§ig (Axialsymmetrie).
Die HŠlfte rechts von der Symmetrieachse fŠrben wir gelb. Nun drehen wir diese
Symmetrieachse um den Schwerpunkt um einen kleinen Winkel 
. Die gelbe FlŠche wird um das grŸne StŸck (oben)
grš§er und um das rote StŸck (unten) kleiner. Da das rote StŸck kleiner ist als
das grŸne StŸck, haben wir auf der gelben Seite einen Nettozuwachs und auf der
anderen Seite einen entsprechenden Verlust. Die gedrehte Gerade halbiert also
das Vieleck nicht mehr.
Hintergrund: Ein regelmŠ§iges Vieleck gerader Eckenzahl ist punktsymmetrisch (wie die Gerade), bei ungerader Eckenzahl haben wir keine Punktsymmetrie.
5 Erweiterung
5.1 Die k-Spinne
Unter der
k-Spinne verstehen wir eine Figur aus
k > 1 vom selben Punkt (Zentrum)
ausgehenden Strahlen, welche regelmŠ§ige Winkel 
einschlie§en (Abb. 3).
FŸr k = 2 erhalten wir die punktierte Gerade, fŸr k = 3 den Mercedes-Stern, fŸr k = 4 das orthogonale Kreuz.
Abb. 3: k-Spinnen
5.2 RegelmŠ§iges Vieleck und Spinne
Wir setzen nun das Zentrum einer k-Spinne in den Schwerpunkt eines regelmŠ§igen n-Eckes.
Es gilt:
Genau wenn k ² n ein Teiler von n ist, zerlegt zu diesem k jede k-Spinne das regelmŠ§ige n-Eck in k flŠchengleiche (sogar kongruente) Teile.
Beweis im Prinzip analog zu oben. Statt mit Punktsymmetrien mŸssen wir mit Drehsymmetrien arbeiten.
Die Abbildung 4 zeigt eine 3-Spinne, die ein regelmŠ§iges Hexagon in drei kongruente Teile zerlegt.
Abb. 4: Hexagonzerlegung
Noch offen ist die Frage, was geschieht, wenn n < k ist, aber n ein Teiler von k.
Dazu Gegenbeispiele.
FŸr n = 3 und k = 6 (Abb. 5) gibt es zwar einen symmetrischen Fall mit Zerlegung in 6 kongruente Teile. Verdrehen der 6-Spinne fŸhrt aber zu Zerlegungen mit nicht kongruenten Teilen.
Abb. 5: Zerlegung in kongruente Teile und in nicht kongruente Teile
FŸr n = 3 und k = 9 gibt es keine Zerlegung in 9 kongruente Teile (Abb. 6).
Abb. 6: Keine Zerlegung in kongruente Teile
Websites
Hans Walser: Eddy
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/E/Eddy/Eddy.htm
Hans Walser: Eddy
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/E/Eddy2/index.html