Hans Walser, [20191211]

Pascal und Fibonacci

1     Worum geht es?

Verallgemeinerte Fibonacci-Folgen auf der Basis von Potenzen der Pascal-Matrix.

2     Erinnerungen

Wenn wir im Pascal-Dreieck der Binomialkoeffizienten die SchrŠgzeilensummen bilden gemŠ§ Abbildung 1 erhalten wir die Fibonacci-Zahlen.

Abb. 1: SchrŠgzeilensummen

Die Fibonacci-Zahlen  haben mit den Startwerten  die Rekursion:

 

                                                                                                       (1)

 

 

 

Weiter gilt der Grenzwert:

 

                                                                                         (2)

 

 

 

Der Grenzwert ist der Goldene Schnitt (Walser 2013). Er ist die positive Lšsung der quadratischen Gleichung:

 

                                                                                                                     (3)

 

 

 

3     Pascal-Matrix

Das Pascal-Dreieck kann auch in eine Dreiecksmatrix eingekastelt werden (Abb. 2).

Abb. 2: Pascal-Matrix

Die SchrŠgzeilen erscheinen jetzt als Diagonalen.

4     Quadrat der Pascal-Matrix

Wir multiplizieren die Pascal-Matrix mit sich selbst im Sinne der Matrizenmultiplikation. Das Resultat ist wieder eine Dreiecksmatrix (Abb. 3).

Abb. 3: Quadrat der Pascal-Matrix

Die Folge der SchrŠgzeilensummen ist:

 

1

2

5

12

29

70

169

408

985

2378

 

Die Folge hat mit den Startwerten  die Rekursion:

 

                                                                                                      (4)

 

 

 

Weiter ist:

 

                                                                                       (5)

 

 

 

Dies ist die positive Lšsung der quadratischen Gleichung:

 

                                                                                                                   (6)

 

 

 

5     Dritte Potenz der Pascal-Matrix

FŸr die dritte Potenz der Pascal-Matrix erhalten wir (Abb. 4):

Abb. 4: Dritte Potenz der Pascal-Matrix

Die Folge der SchrŠgzeilensummen ist:

 

1

3

10

33

109

360

1189

3927

12970

42837

 

Die Folge hat mit den Startwerten  die Rekursion:

 

                                                                                                       (7)

 

 

 

Weiter ist:

 

                                                                                        (8)

 

 

 

Dies ist die positive Lšsung der quadratischen Gleichung:

 

                                                                                                                   (9)

 

 

 

6     Allgemein

FŸr die n-te Potenz der Pascal-Matrix ergibt sich die SchrŠgzeilen-Summenfolge mit den Startwerten  und der Rekursion:

 

                                                                                                    (10)

 

 

 

Weiter ist:

 

                                                                                               (11)

 

 

 

Dies ist die positive Lšsung der quadratischen Gleichung:

 

                                                                                                                 (12)

 

 

 

7     Inverse

FŸr die Inverse der Pascal-Matrix erhalten wir (Abb. 5):

Abb. 5: Inverse der Pascal-Matrix

Dies ist die Pascal-Matrix mit alternierenden Vorzeichen. Die SchrŠgzeilensummen haben daher bei gleichen BetrŠgen ebenfalls alternierende Vorzeichen. Analoges gilt fŸr weitere Potenzen mit negativen Exponenten.

 

Literatur

Walser, H. (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing Ÿber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.