Hans Walser, [20141215]

Planetengetriebe

1     Fragestellung

Die Abbildung 1 zeigt das Schema eines Planetengetriebes. Die Figur kann auch als Rollen- oder Kugellager gedeutet werden.

 

Abb. 1: Planetengetriebes

 

Der innere blaue Kreis habe den Radius  und die Drehgeschwindigkeit . Der Šu§ere blaue Kreisring habe den Innenradius  und die Drehgeschwindigkeit .

a)     Wie schnell drehen sich die rosa Kreise um die eigene Achse? Im System Sonne-Erde entspricht dies der Eigendrehung der Erde relativ zu den Fixsternen.

b)    Wie schnell drehen die Mittelpunkte der rosa Kreise im blauen System? Im System Sonne-Erde entspricht dies der Drehung der Erde um die Sonne.

2     Bearbeitung

Wir nehmen an, dass die rosa Kreise verlustfrei auf dem inneren Kreis und im Šu§eren Kreisring abrollen.

2.1    Eigendrehung der rosa Kreise

Die Drehgeschwindigkeit der rosa Kreise um die eigene Achse bezeichnen wir mit . Die rosa Kreise haben den Radius .

2.1.1   Berechnung

Wir betrachten einen infinitesimal kleinen Zeitabschnitt dt. Es ist dann:

 

Daraus ergibt sich:

 

2.1.2   Diskussion

Wir betrachten GrenzfŠlle.

a)     Fźr  ist auch .

b)    Fźr  ist .

c)     Fźr  und  geht der Nenner gegen null und  wird rasend schnell.

d)    Fźr  (klassische Situation bei Kugellagern) ist . Die rosa Kreise drehen also schneller als der Šu§ere Kreisring.

2.2    Drehung der Mittelpunkte

Die Drehgeschwindigkeit der Mittelpunkte der rosa Kreise im blauen System bezeichnen wir mit .

2.2.1   Berechnung

Wir betrachten wiederum einen infinitesimal kleinen Zeitabschnitt dt. Es ist dann:

 

Daraus ergibt sich:

 

Die Drehgeschwindigkeit  ist also das mit den Radien  und  gewichtete Mittel der beiden Drehgeschwindigkeiten  und .

2.2.2   Diskussion

a)     Fźr  ist auch .

b)    Fźr  ist .

c)     Fźr  ist . Das ist zwar nicht sinnvoll, aber richtig.

d)    Fźr  (klassische Situation bei Kugellagern) ist . Die Mittelpunkte der rosa Kreise drehen langsamer als der Šu§ere Kreisring.