Hans Walser, [20141215]
Planetengetriebe
Die Abbildung 1 zeigt das Schema eines Planetengetriebes. Die Figur kann auch als Rollen- oder Kugellager gedeutet werden.
Abb. 1: Planetengetriebes
Der innere blaue Kreis habe den Radius und die Drehgeschwindigkeit . Der Šu§ere blaue Kreisring habe den Innenradius und die Drehgeschwindigkeit .
a) Wie schnell drehen sich die rosa Kreise um die eigene Achse? Im System Sonne-Erde entspricht dies der Eigendrehung der Erde relativ zu den Fixsternen.
b) Wie schnell drehen die Mittelpunkte der rosa Kreise im blauen System? Im System Sonne-Erde entspricht dies der Drehung der Erde um die Sonne.
Wir nehmen an, dass die rosa Kreise verlustfrei auf dem inneren Kreis und im Šu§eren Kreisring abrollen.
Die Drehgeschwindigkeit der rosa Kreise um die eigene Achse bezeichnen wir mit . Die rosa Kreise haben den Radius .
Wir betrachten einen infinitesimal kleinen Zeitabschnitt dt. Es ist dann:
Daraus ergibt sich:
Wir betrachten GrenzfŠlle.
a) Fźr ist auch .
b) Fźr ist .
c) Fźr und geht der Nenner gegen null und wird rasend schnell.
d) Fźr (klassische Situation bei Kugellagern) ist . Die rosa Kreise drehen also schneller als der Šu§ere Kreisring.
Die Drehgeschwindigkeit der Mittelpunkte der rosa Kreise im blauen System bezeichnen wir mit .
Wir betrachten wiederum einen infinitesimal kleinen Zeitabschnitt dt. Es ist dann:
Daraus ergibt sich:
Die Drehgeschwindigkeit ist also das mit den Radien und gewichtete Mittel der beiden Drehgeschwindigkeiten und .
a) Fźr ist auch .
b) Fźr ist .
c) Fźr ist . Das ist zwar nicht sinnvoll, aber richtig.
d) Fźr (klassische Situation bei Kugellagern) ist . Die Mittelpunkte der rosa Kreise drehen langsamer als der Šu§ere Kreisring.