Hans Walser, [20141215]
Planetengetriebe
Die Abbildung 1 zeigt das Schema eines Planetengetriebes. Die Figur kann auch als Rollen- oder Kugellager gedeutet werden.
Abb. 1: Planetengetriebes
Der
innere blaue Kreis habe den Radius und die
Drehgeschwindigkeit
. Der Šu§ere blaue Kreisring habe den Innenradius
und die
Drehgeschwindigkeit
.
a) Wie schnell drehen sich die rosa Kreise um die eigene Achse? Im System Sonne-Erde entspricht dies der Eigendrehung der Erde relativ zu den Fixsternen.
b) Wie schnell drehen die Mittelpunkte der rosa Kreise im blauen System? Im System Sonne-Erde entspricht dies der Drehung der Erde um die Sonne.
Wir nehmen an, dass die rosa Kreise verlustfrei auf dem inneren Kreis und im Šu§eren Kreisring abrollen.
Die
Drehgeschwindigkeit der rosa Kreise um die eigene Achse bezeichnen wir mit . Die rosa Kreise haben den Radius
.
Wir betrachten einen infinitesimal kleinen Zeitabschnitt dt. Es ist dann:
Daraus ergibt sich:
Wir betrachten GrenzfŠlle.
a)
Fźr ist auch
.
b)
Fźr ist
.
c)
Fźr und
geht der
Nenner gegen null und
wird
rasend schnell.
d)
Fźr (klassische Situation bei Kugellagern)
ist
. Die rosa Kreise drehen also schneller als der Šu§ere
Kreisring.
Die
Drehgeschwindigkeit der Mittelpunkte der rosa Kreise im blauen System bezeichnen
wir mit .
Wir betrachten wiederum einen infinitesimal kleinen Zeitabschnitt dt. Es ist dann:
Daraus ergibt sich:
Die
Drehgeschwindigkeit ist also
das mit den Radien
und
gewichtete
Mittel der beiden Drehgeschwindigkeiten
und
.
a)
Fźr ist auch
.
b)
Fźr ist
.
c)
Fźr ist
. Das ist zwar nicht sinnvoll, aber richtig.
d)
Fźr (klassische Situation bei Kugellagern)
ist
. Die Mittelpunkte der rosa Kreise drehen langsamer
als der Šu§ere Kreisring.